[转载]无旋treap:从单点到区间(例题 BZOJ1500&NOI2005 维护数列 )
转自ZZH大佬,原文:http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7182631.html
1500: [NOI2005]维修数列
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 64 MB
Description
Input
输入的第1 行包含两个数N 和M(M ≤20 000),N 表示初始时数列中数的个数,M表示要进行的操作数目。
第2行包含N个数字,描述初始时的数列。
以下M行,每行一条命令,格式参见问题描述中的表格。
任何时刻数列中最多含有500 000个数,数列中任何一个数字均在[-1 000, 1 000]内。
插入的数字总数不超过4 000 000个,输入文件大小不超过20MBytes。
Output
对于输入数据中的GET-SUM和MAX-SUM操作,向输出文件依次打印结果,每个答案(数字)占一行。
Sample Input
2 -6 3 5 1 -5 -3 6 3
GET-SUM 5 4
MAX-SUM
INSERT 8 3 -5 7 2
DELETE 12 1
MAKE-SAME 3 3 2
REVERSE 3 6
GET-SUM 5 4
MAX-SUM
Sample Output
10
1
10
这次我们学习无旋treap的区间操作(如果没有了解过无旋treap,你可以选择查看我上一篇讲解博文[您有新的未分配科技点]无旋treap:从好奇到入门)
这道例题,真的是平衡树神题……
区间操作我们并没有见过,但我们可以联想一下单点操作时普通平衡树里都干了些什么:
"合并两棵树”和“把一棵树的前k个节点分裂出来”
可不可以用这些操作进行区间操作?显然是可以的,只要我们每次新建一棵树就可以了
在具体操作之前,我们先来看一下区间操作的原理:为什么平衡树的区间操作是对的?
我们知道,平衡树是一种二叉排序树,它的各种操作的前提是不会改变排序树的中序遍历
如果我们按照想要的中序遍历建树并且合并,我们一定能得到正确的区间,所以平衡树的区间操作是正确的。
这也是平衡树的两大建立方式之一:按中序遍历建树(另外一种是按权值建树……就是最常见的那种)
这样就涉及到一个没有出现的函数:build(建树)函数
build函数的原理和"笛卡尔树"的建造是比较像的(没有听说过笛卡尔树?请看笛卡尔树)
我们用下面一张图来简要讲解一下build的构造过程(注意,定义key为维护堆性质的随机键值)
假设这是我的无旋treap目前的状态,我用一个栈来维护这棵树最右边的一条链,并且每一次在右下角处插入节点
假设我此时我们在9的右儿子添加了一个13,若13的key值小于栈顶元素9的key,那么就开始退栈,停止退栈的条件有两个,满足任意一个即停止:
1 Treap *stack[N],*x,*last; 2 inline Treap *build() 3 { 4 int p=0; 5 for(int i=1;i<=n;i++) 6 { 7 scanf("%d",&a[i]); 8 x=newTreap(a[i]);last=null; 9 while(p&&stack[p]->key > x->key) 10 {stack[p]->update();last=stack[p];stack[p--]=null;} 11 if(p)stack[p]->ch[1]=x; 12 x->ch[0]=last;stack[++p]=x; 13 } 14 while(p)stack[p--]->update(); 15 return stack[1]; 16 }
有了这个build操作,在加上之前的操作,我们很容易得出
insert=split+build+merge+merge
delete=split+split+merge
下面在考虑其他4个操作:
make-same:和线段树一样打标记并且下传就好
注意,这个操作会影响到最大连续和的求解,需要更新维护信息(更新谁请读者思考)。
reserve:这也是平衡树区间操作的经典考题……区间翻转问题
对于节点o,我们也是用一个标记来维护这个问题,
操作到这个节点时下传标记,然后用swap交换o的左右儿子即可。
不幸的是,这个操作也会影响到最大连续和的求解,也需要更新维护信息(更新谁请读者思考)。
get-sum:每个节点多维护一个sum附加值,在维护节点信息的时候更新即可。
get-max:这个操作也是一种经典的询问。
它需要我们多维护下面三个信息:最大前缀和,最大后缀和以及最大连续和。
对于每一个节点的最大前缀和,这个值可能是
1°它的左儿子的前缀和;
2°左儿子的和+它的val
3°左儿子的和+它的val+右儿子的前缀和
最大后缀和同理。
而最大连续和,这个范围可能完全在左儿子中,可能完全在右儿子中,也可能卡在左右儿子中间
所以我们可能的取值为:
1°左儿子的最大连续和;
2°右儿子的最大连续和
3°max(0,左儿子的后缀和)+它的val+max(右儿子的前缀和)
这样我们就解决了这个问题。觉得还是不太明白的同学可以去做一下cogs775山海经这道题,它就是单纯询问最大连续和一个操作。
这样,6个操作都被我们处理完了。本题不卡内存和时间,所以放心大胆的码就可以了……
代码见下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <ctime> using namespace std; const int N=500100; const int MAXN=4000100; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,a[N],point; struct Treap { Treap *ch[2]; int val,key,size,sum,l,r,m;bool flip,mark; Treap(){val=l=r=m=-inf;sum=0;size=0;mark=flip=0;key=rand();} inline void update() { size=ch[0]->size+ch[1]->size+1; sum=val+ch[0]->sum+ch[1]->sum; l=max(ch[0]->l,max(ch[0]->sum+val,ch[0]->sum+val+ch[1]->l)); r=max(ch[1]->r,max(val+ch[1]->sum,ch[0]->r+val+ch[1]->sum)); m=max(ch[0]->m,max(max(0,ch[0]->r)+val+max(0,ch[1]->l),ch[1]->m)); } }*null=new Treap(),*root=null,*stack[N],*x,*last; typedef pair<Treap*,Treap*> D; inline void Maintain_flip(Treap *o) { if(o==null)return; o->flip^=1;swap(o->l,o->r); } inline void Maintain_mark(Treap *o,int c) { if(o==null)return; o->val=c;o->sum=o->size*c; o->l=o->r=o->m=max(o->size*c,c); o->mark=1; } inline void pushdown(Treap *o) { if(o==null)return; if(o->flip) { o->flip^=1; Maintain_flip(o->ch[0]); Maintain_flip(o->ch[1]); swap(o->ch[0],o->ch[1]); } if(o->mark) { Maintain_mark(o->ch[0],o->val); Maintain_mark(o->ch[1],o->val); o->mark=0; } } inline Treap* newTreap(int val) { Treap *o=new Treap(); o->ch[1]=o->ch[0]=null;o->key=rand(); o->val=o->sum=val;o->size=1;o->flip=o->mark=0; o->m=o->l=o->r=val; return o; } Treap *merge(Treap *a,Treap *b) { if(a==null)return b; if(b==null)return a; pushdown(a);pushdown(b); if(a->key < b->key) {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;} else {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]);b->update();return b;} } D split(Treap *o,int k) { if(o==null) return D(null,null); D y;pushdown(o); if(o->ch[0]->size>=k) {y=split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->update();y.second=o;} else {y=split(o->ch[1],k-o->ch[0]->size-1);o->ch[1]=y.first;o->update();y.first=o;} return y; } inline Treap *build() { int p=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); x=newTreap(a[i]);last=null; while(p&&stack[p]->key > x->key) {stack[p]->update();last=stack[p];stack[p--]=null;} if(p)stack[p]->ch[1]=x; x->ch[0]=last;stack[++p]=x; } while(p)stack[p--]->update(); return stack[1]; } void adjust(Treap *o) { if(o==null)return; if(o->ch[0]!=null)adjust(o->ch[0]); if(o->ch[1]!=null)adjust(o->ch[1]); delete o; } inline void insert() { int pos;scanf("%d%d",&pos,&n); Treap *o=build(); D x=split(root,pos); root=merge(merge(x.first,o),x.second); } inline void erase() { int pos;scanf("%d%d",&pos,&n); D x=split(root,pos-1); D y=split(x.second,n); adjust(y.first); root=merge(x.first,y.second); } inline void reverse() { int pos;scanf("%d%d",&pos,&n); D x=split(root,pos-1); D y=split(x.second,n); Maintain_flip(y.first); root=merge(merge(x.first,y.first),y.second); } inline void make_same() { int pos,c;scanf("%d%d%d",&pos,&n,&c); D x=split(root,pos-1); D y=split(x.second,n); Maintain_mark(y.first,c); root=merge(merge(x.first,y.first),y.second); } inline int get_sum() { int pos;scanf("%d%d",&pos,&n); if(n==0)return 0; D x=split(root,pos-1); D y=split(x.second,n); int ret=y.first->sum; root=merge(merge(x.first,y.first),y.second); return ret; } int main() { int m;scanf("%d%d",&n,&m);root=build(); char opt[15]; while(m--) { scanf("%s",opt); switch(opt[0]) { case 'I':{insert();break;} case 'D':{erase();break;} case 'M': { if(opt[2]=='K'){make_same();break;} else {printf("%d\n",root->m);break;} } case 'G':{printf("%d\n",get_sum());break;} case 'R':{reverse();break;} } } }
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