[转载]无旋treap：从单点到区间（例题 BZOJ1500&NOI2005 维护数列 ）

转自ZZH大佬，原文：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7182631.html

1500: [NOI2005]维修数列

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Description

 

Input

输入的第1 行包含两个数N 和M(M ≤20 000)，N 表示初始时数列中数的个数，M表示要进行的操作数目。
第2行包含N个数字，描述初始时的数列。
以下M行，每行一条命令，格式参见问题描述中的表格。
任何时刻数列中最多含有500 000个数，数列中任何一个数字均在[-1 000, 1 000]内。
插入的数字总数不超过4 000 000个，输入文件大小不超过20MBytes。

Output

对于输入数据中的GET-SUM和MAX-SUM操作，向输出文件依次打印结果，每个答案（数字）占一行。

Sample Input

9 8
2 -6 3 5 1 -5 -3 6 3
GET-SUM 5 4
MAX-SUM
INSERT 8 3 -5 7 2
DELETE 12 1
MAKE-SAME 3 3 2
REVERSE 3 6
GET-SUM 5 4
MAX-SUM

Sample Output

-1
10
1
10

 

这次我们学习无旋treap的区间操作（如果没有了解过无旋treap，你可以选择查看我上一篇讲解博文[您有新的未分配科技点]无旋treap：从好奇到入门）

这道例题，真的是平衡树神题……

区间操作我们并没有见过，但我们可以联想一下单点操作时普通平衡树里都干了些什么：

"合并两棵树”和“把一棵树的前k个节点分裂出来”

可不可以用这些操作进行区间操作？显然是可以的，只要我们每次新建一棵树就可以了

在具体操作之前，我们先来看一下区间操作的原理：为什么平衡树的区间操作是对的？

我们知道，平衡树是一种二叉排序树，它的各种操作的前提是不会改变排序树的中序遍历

如果我们按照想要的中序遍历建树并且合并，我们一定能得到正确的区间，所以平衡树的区间操作是正确的。

这也是平衡树的两大建立方式之一：按中序遍历建树（另外一种是按权值建树……就是最常见的那种）

这样就涉及到一个没有出现的函数：build（建树）函数

build函数的原理和"笛卡尔树"的建造是比较像的（没有听说过笛卡尔树？请看笛卡尔树）

我们用下面一张图来简要讲解一下build的构造过程（注意，定义key为维护堆性质的随机键值）

假设这是我的无旋treap目前的状态，我用一个栈来维护这棵树最右边的一条链，并且每一次在右下角处插入节点

假设我此时我们在9的右儿子添加了一个13，若13的key值小于栈顶元素9的key，那么就开始退栈，停止退栈的条件有两个，满足任意一个即停止：

1.当前栈顶元素key<13的key（约定key小的在上）

2.栈为空

若13的key>3的key并且<4的key，那么上图会变为：

这样显然还满足中序遍历，代码实现基本就是大模拟这种思路，不断退栈即可

我们看一下代码：

 1 Treap *stack[N],*x,*last;
 2 inline Treap *build()
 3 {
 4     int p=0;
 5     for(int i=1;i<=n;i++)
 6     {
 7         scanf("%d",&a[i]);
 8         x=newTreap(a[i]);last=null;
 9         while(p&&stack[p]->key > x->key)
10             {stack[p]->update();last=stack[p];stack[p--]=null;}
11         if(p)stack[p]->ch[1]=x;
12         x->ch[0]=last;stack[++p]=x;
13     }
14     while(p)stack[p--]->update();
15     return stack[1];
16 }

有了这个build操作，在加上之前的操作，我们很容易得出

insert=split+build+merge+merge

delete=split+split+merge

下面在考虑其他4个操作：

make-same：和线段树一样打标记并且下传就好

注意，这个操作会影响到最大连续和的求解，需要更新维护信息（更新谁请读者思考）。

reserve：这也是平衡树区间操作的经典考题……区间翻转问题

对于节点o，我们也是用一个标记来维护这个问题，

操作到这个节点时下传标记，然后用swap交换o的左右儿子即可。

不幸的是，这个操作也会影响到最大连续和的求解，也需要更新维护信息（更新谁请读者思考）。

get-sum：每个节点多维护一个sum附加值，在维护节点信息的时候更新即可。

get-max：这个操作也是一种经典的询问。

它需要我们多维护下面三个信息：最大前缀和，最大后缀和以及最大连续和。

对于每一个节点的最大前缀和，这个值可能是

1°它的左儿子的前缀和；

2°左儿子的和+它的val

3°左儿子的和+它的val+右儿子的前缀和

最大后缀和同理。

而最大连续和，这个范围可能完全在左儿子中，可能完全在右儿子中，也可能卡在左右儿子中间

所以我们可能的取值为：

1°左儿子的最大连续和；

2°右儿子的最大连续和

3°max（0，左儿子的后缀和）+它的val+max（右儿子的前缀和）

这样我们就解决了这个问题。觉得还是不太明白的同学可以去做一下cogs775山海经这道题，它就是单纯询问最大连续和一个操作。

这样，6个操作都被我们处理完了。本题不卡内存和时间，所以放心大胆的码就可以了……

代码见下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std;
const int N=500100;
const int MAXN=4000100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,a[N],point;
struct Treap
{
    Treap *ch[2];
    int val,key,size,sum,l,r,m;bool flip,mark;
    Treap(){val=l=r=m=-inf;sum=0;size=0;mark=flip=0;key=rand();}
    inline void update()
    {
        size=ch[0]->size+ch[1]->size+1;
        sum=val+ch[0]->sum+ch[1]->sum;
        l=max(ch[0]->l,max(ch[0]->sum+val,ch[0]->sum+val+ch[1]->l));
        r=max(ch[1]->r,max(val+ch[1]->sum,ch[0]->r+val+ch[1]->sum));
        m=max(ch[0]->m,max(max(0,ch[0]->r)+val+max(0,ch[1]->l),ch[1]->m));
    }
}*null=new Treap(),*root=null,*stack[N],*x,*last;
typedef pair<Treap*,Treap*> D;
inline void Maintain_flip(Treap *o)
{
    if(o==null)return;
    o->flip^=1;swap(o->l,o->r);
}
inline void Maintain_mark(Treap *o,int c)
{
    if(o==null)return;
    o->val=c;o->sum=o->size*c;
    o->l=o->r=o->m=max(o->size*c,c);
    o->mark=1;
}
inline void pushdown(Treap *o)
{
    if(o==null)return;
    if(o->flip)
    {
        o->flip^=1;
        Maintain_flip(o->ch[0]);
        Maintain_flip(o->ch[1]);
        swap(o->ch[0],o->ch[1]);
    }
    if(o->mark)
    {
        Maintain_mark(o->ch[0],o->val);
        Maintain_mark(o->ch[1],o->val);
        o->mark=0;
    }
}
inline Treap* newTreap(int val)
{
    Treap *o=new Treap();
    o->ch[1]=o->ch[0]=null;o->key=rand();
    o->val=o->sum=val;o->size=1;o->flip=o->mark=0;
    o->m=o->l=o->r=val;
    return o;
}
Treap *merge(Treap *a,Treap *b)
{
    if(a==null)return b;
    if(b==null)return a;
    pushdown(a);pushdown(b);
    if(a->key < b->key)
        {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;}
    else
        {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]);b->update();return b;}
}
D split(Treap *o,int k)
{
    if(o==null) return D(null,null);
    D y;pushdown(o);
    if(o->ch[0]->size>=k)
        {y=split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->update();y.second=o;}
    else
        {y=split(o->ch[1],k-o->ch[0]->size-1);o->ch[1]=y.first;o->update();y.first=o;}
    return y;
}
inline Treap *build()
{
    int p=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        x=newTreap(a[i]);last=null;
        while(p&&stack[p]->key > x->key)
            {stack[p]->update();last=stack[p];stack[p--]=null;}
        if(p)stack[p]->ch[1]=x;
        x->ch[0]=last;stack[++p]=x;
    }
    while(p)stack[p--]->update();
    return stack[1];
}
void adjust(Treap *o)
{
    if(o==null)return;
    if(o->ch[0]!=null)adjust(o->ch[0]);
    if(o->ch[1]!=null)adjust(o->ch[1]);
    delete o;
}
inline void insert()
{
    int pos;scanf("%d%d",&pos,&n);
    Treap *o=build();
    D x=split(root,pos);
    root=merge(merge(x.first,o),x.second);
}
inline void erase()
{
    int pos;scanf("%d%d",&pos,&n);
    D x=split(root,pos-1);
    D y=split(x.second,n);
    adjust(y.first);
    root=merge(x.first,y.second);
}
inline void reverse()
{
    int pos;scanf("%d%d",&pos,&n);
    D x=split(root,pos-1);
    D y=split(x.second,n);
    Maintain_flip(y.first);
    root=merge(merge(x.first,y.first),y.second);
}
inline void make_same()
{
    int pos,c;scanf("%d%d%d",&pos,&n,&c);
    D x=split(root,pos-1);
    D y=split(x.second,n);
    Maintain_mark(y.first,c);
    root=merge(merge(x.first,y.first),y.second);
}
inline int get_sum()
{
    int pos;scanf("%d%d",&pos,&n);
    if(n==0)return 0;
    D x=split(root,pos-1);
    D y=split(x.second,n);
    int ret=y.first->sum;
    root=merge(merge(x.first,y.first),y.second);
    return ret;
}
int main()
{
    int m;scanf("%d%d",&n,&m);root=build();
    char opt[15];
    while(m--)
    {
        scanf("%s",opt);
        switch(opt[0])
        {
            case 'I':{insert();break;}
            case 'D':{erase();break;}
            case 'M':
            {
                if(opt[2]=='K'){make_same();break;}
                else {printf("%d\n",root->m);break;}
            }
            case 'G':{printf("%d\n",get_sum());break;}
            case 'R':{reverse();break;}
        }
    }
}