【海岛帝国系列赛】No.4 海岛帝国：LYF的太空运输站

50212228海岛帝国：LYF的太空运输站

【试题描述】

最近，“购物券”WHT在“药师傅”帝国资源大会上提出了“SSTS”太空运输站计划。由于恐怖分子前些日子刚猖狂完，炸毁高楼无数，YSF不得不执行 WHT丧心病狂的计划，“演员”KLINT（众所周知，又一大土豪同学）捐赠了众多资源，和高级技术。太空运输站建成了，YSF任命LYF为站长，LJX 为副站长。第一波运输计划开始了！可是，当运输军队到达中转站金星时，遭到了盗取新技术的恐怖分子的袭击。由于没有足够的兵力，整个舰队全军覆没，LYF 损失惨重，恼羞成怒，随即决定让YSM和LJX调用一半星际舰队。可恐怖分子太强，再次损失惨重。YSF无奈，决定给“过路费”。但YSF是个贪财的人， 所以，YSF想让给的钱最少。他把这个难题交给了LYF，LYF又把这个任务交给了LJX，所以请你帮帮可怜的LYF，帮他编一个程序。另外，悬赏 10000000000000000000000000000000000$，所以赶快做吧！

【输入要求】

* 第一行：两个整数：n表示有n个城市，m表示有m条道路。
* 接下来的m行，每行三个整数：a，b，c表示从a星到达b星的路花费是c

【输出要求】

输出需要钱数最少方案

【输入实例】

6 9
2 4 11
3 5 13
4 6 3
5 6 4
2 3 6
4 5 7
1 2 1
3 4 9
1 3 2

【输出实例】

19

【其他说明】

n<=15,m<=18
40ms够了吧？

【试题分析】

仔细思考这一题，其实就是让银子用的越少越好。换句话说,就是让最少的边让图连接，让多余的边去掉。而定义是：如果一个连通无向图不包含回路，那么，就完全可以说这就是一棵树。在这里，我们讨论的是图的最小生成树。那么，问题来了：怎么选出这N-1条边，让边的总长度之和最短呢?我们一下就可以想到：我们自然可以选择最短的边，然后再选择次短的边……直到选完了所有N-1条边为止。我们可以先排序，这是最显而易见的方法。依次选择，直到选择了N-1条边让图联通为止。比较难于实现的是判断两个顶点是否有连通，否则就产生了回路，就不是树了。我们可以用以前的DFS或BFS来解决这个问题，但是，效率好像很低？上面要求40ms之内搞定，所以，还有一种更好的方法——并查集。将所有顶点放在一个并查集中。只需判断两个点是否在一个集合里（即是否拥有共同的祖先）。这样操作的时间复杂度仅为O（logN）。

----------------------------------------------------------【以下为转载内容】

这个算法叫Kruskal算法，求加权连通图的最小生成树的算法。kruskal算法总共选择n- 1条边，（共n个点）所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的 具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。kruskal算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的 过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶 点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

C语言代码：

 #include "stdio.h"
 #include "stdlib.h"
 struct edge
 {
     int m;
     int n;
     int d;
 }a[];
 int cmp(const void *a,const void *b)//按升序排列
 {
     return((struct edge*)a)->d - ((struct edge*)b)->d;
 }
 int main(void)
 {
     inti,n,t,num,min,k,g,x[];
     printf("请输入顶点的个数：");
     scanf("%d",&n);
     t = n * ( n -  ) / ;
     for(i=;i<=n;i++)
         x[i]=i;
     printf("请输入每条边的起始端点、权值：/n");
     for(i=;i<t;i++)
     scanf("%d%d%d",&a[i].m,&a[i].n,&a[i].d);//输入每条边的权值
     qsort(a,t,sizeof(a[]),cmp);
     min=num=;
         for(i=;i<t && num < n-;i++)
         {
             for(k=a[i].m;x[k]!=k;k=x[k])//判断线段的起始点所在的集合
                 x[k]=x[x[k]];
             for(g=a[i].n;x[g]!=g;g=x[g])//判断线段的终点所在的集合
                 x[g]=x[x[g]];
             if(k!=g)//如果线段的两个端点所在的集合不一样
             {
                 x[g]=k;
                 min+=a[i].d;
                 num++;
                 printf("最小生成树中加入边：%d%d/n",a[i].m,a[i].n);
             }
         }
     printf("最小生成树的权值为：%d/n",min);
     system("pause");
     return ;
 }

kruskal算法的基本思想：

1.首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支（n个孤立点）并将所有的边按权从小大排序。

2.按照边权值递增顺序，如果加入边后存在圈则这条边不加，直到形成连通图对2的解释：如果加入边的两个端点位于不同的连通支，那么这条边可以顺利加入而不会形成圈

本例中用到的图：

        这个算法执行的过程就是按照规定一个个连通支合并的过程，使最后只剩一个连通支。

【以上内容为转载】

【代码】

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int dis[],book[]={};
 int h[],pos[],size;
 void swap(int x,int y)
 {
      int t;
      t=h[x];
      h[x]=h[y];
      h[y]=t;
      t=pos[h[x]];
      pos[h[x]]=pos[h[y]];
      pos[h[y]]=t;
      return ;
 }
 void siftdown(int i)
 {
      int t,flag=;
      while(i*<=size&&flag==)
      {
           if(dis[h[i]]>dis[h[i*]]) t=i*;
           else t=i;
           if(i*+<=size)
               if(dis[h[t]]>dis[h[i*+]]) t=i*+;
           if(t!=i)
           {
               swap(t,i);
               i=t;
           }
           else flag=;
      }
      return ;
 }
 void siftup(int i)
 {
      int flag=;
      if(i==) return ;
      while(i!=&&flag==)
      {
          if(dis[h[i]]<dis[h[i/]]) swap(i,i/);
          else flag=;
          i/=;
      }
      return ;
 }
 int pop()
 {
     int t;
     t=h[];
     pos[t]=;
     h[]=h[size];
     pos[h[]]=;
     size--;
     siftdown();
     return t;
 }
 int main()
 {
     int n,m,i,j,k;
     int u[],v[],w[],first[],next[];
     int inf=;
     int count=,sum=;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(i=;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
     for(i=m+;i<=*m;i++)
     {
         u[i]=v[i-m];
         v[i]=u[i-m];
         w[i]=w[i-m];
     }
     for(i=;i<=n;i++) first[i]=-;
     for(i=;i<=*m;i++)
     {
         next[i]=first[u[i]];
         first[u[i]]=i;
     }
     book[]=;
     count++;
     dis[]=;
     for(i=;i<=n;i++) dis[i]=inf;
     k=first[];
     while(k!=-)
     {
         dis[v[k]]=w[k];
         k=next[k];
     }
     size=n;
     for(i=;i<=size;i++)
     {
         h[i]=i;
         pos[i]=i;
     }
     for(i=size/;i>=;i--)
     {
         siftdown(i);
     }
     pop();
     while(count<n)
     {
         j=pop();
         book[j]=;
         count++;
         sum+=dis[j];
         k=first[j];
         while(k!=-)
         {
             if(book[v[k]]==&&dis[v[k]]>w[k])
             {
                 dis[v[k]]=w[k];
                 siftup(pos[v[k]]);
             }
             k=next[k];
         }
     }
     printf("%d",sum);
 }