[jzoj]1115.【HNOI2008】GT考试

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Description

　　申准备报名参加GT考试，准考证号为n位数X1X2X3...Xn-1Xn(0<=Xi<=9)，他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数字A1A2A3...Am-1Am(0<=Ai<=9)有m位，不出现是指X1X2X3...Xn-1Xn 中没有恰好一段等于A1A2A3...Am-1Am。A1和X1可以为0。
　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果。

Solution

40分：动态规划

　　考虑到这道题匹配的顺序，可以采用动态规划。

　　设f[i,j]表示选到前i位，当前匹配到不吉利数字的位数j。

　　枚举当前位选的数（0~9），转移显然。

　　可是j的转移略微复杂。这里分三种情况

　　（1）当前位选的数使得j为0

　　例如不吉利数字为1101，当前匹配了3位，即101，若当前选0或2~9的数字，则j为0。

　　（2）当前选的数使得j为之前某一位的数

　　例如不吉利数字为11321，当前匹配了4位，即1321，若当前选2，那么我们不会将j赋值为0，为什么？

　　当出现21321的情况，开头两位可以与不吉利数字开头两位（21）匹配，故j应该为2

　　在如同1202，当前第4位选0，我们j应该位2

　　（3）按照不吉利数字的顺序发展

　　例如不吉利数字为1101，当前匹配了3位，即101，若当前选1，则j位4

　　我们可以用数组p[i,j]表示数字i放在当前已匹配了j位的不吉利数字上，上述所的j是多少。

　　显然有递推式（状态转移方程）

　　f[i+1,p[k,j]]+=f[i,j];（k位当前数字，j为原匹配了的位数，i为准考证位数匹配）

100分：矩阵乘法

　　显然可以用矩阵乘法来优化上面的递推式，用一个1*m和m*m的矩阵来弄