『扩展欧几里得算法 Extended Euclid』

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<正文>

Euclid算法(gcd)

在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。

众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在$O(log_2b)$时间内求解$(a,b)$(a，b的最大公约数)。

其核心内容可以陈述为:$(a,b)=(b,a\%b)$，然后反复迭代该式缩小$a,b$规模，直到$b=0$，得到a为最大公约数。

证明

设两数为$a\ b(b<a)$，求它们最大公约数的步骤如下：用$b$除$a$，即$a/b=q…..r$，得$a＝bq＋r(0≤r<b)$，即为余数，$q$是这个除法的商)。若$r=0$，则$b$是$a$和$b$的最大公约数，$a$，$b$存在倍数关系。若$r≠0$,则继续考虑。

首先，应该明白的一点是任何 $a$ 和 $b$ 的公约数都是 $r$ 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 $r$ 写成 $r=a-bq$。现在，如果 $a$ 和 $b$ 有一个公约数 $d$，而且设 $a=sd , b=td$，那么 $r = sd-tdq = (s-tq)d$。因为这个式子中，所有的数(包括 $s-tq$)都为整数，所以 $r$ 可以被 $d$ 整除。

对于所有的 $d$ 的值，这都是正确的。所以 $a$ 和 $b$ 的最大公约数也是 $b$(因为$b< a$，所有取b继续运算才能不断缩小规模，直至两数有倍数关系) 和 $r$ 的最大公约数。因此我们可以继续对 $b$ 和 $r$ 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 $r=0$ 的结果，我们也就得到了 $a$ 和 $b$ 的最大公约数

实现

$Code:$

inline int Euclid(int a,int b){return b==0?a:Eucild(b,a%b);}

Extended Euclid算法(exgcd)

那么接下来就是扩展欧几里得啦。

正如其名，扩展欧几里得算法就是基于欧几里得算法的扩展运用。该算法用于解决一下模型的问题：

求解关于$x,y$的二元不定方程$ax+by=c$的整数解

在讲解算法之前，需要先了解该算法的核心，即裴蜀定理：

对任何整数$a,b$，关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):$ax+by=c$，方程有整数解当且仅当$c$是$(a,b)$的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明

1.必要性证明：如果有整数解,则$c$是$p$的倍数

令$p=(a,b)$，设$a=a'p$，$b=b'p$，则有$(a',b')=1$成立。那么

\[ax+by=c
\\⇒a'px+b'py=c
\\⇒p(a'x+b'y)=c
\]

那么$c$就是$p$的一个因数，所以$p|c$得证。

2.充分性证明：如果$c$是$p$的倍数,则$ax+by=c$有整数解

令$p=(a,b)$，记欧几里得算法中每一次辗转得到的数对为$(a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)$，其中，$(a_1,b_1)$即为$(a,b)$，$(a_n,b_n)$即为$(p,0)$，符合辗转相除法的流程。

对于$(a_n,b_n)$，求方程$a_nx+b_ny=c$的解，由于$a_n=p,b_n=0$，我们可以构造一组解：

\[\begin{cases}
x_n=\frac{c}{p}
\\∀y_n\in Z
\end{cases}
\]

适用于$(a_n,b_n)$，且$(x_n,y_n)$一定为整数(因为$p|c$，$y_n$取任意整数)。

至此，数学归纳法的底基证明完毕。

由于辗转相除法，我们可以得知

\[a_n=b_{n-1}\ ①
\\b_n=a_{n-1}\%b_{n-1}
\\⇒b_n=a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1}\ ②
\]

我们刚才已经推得：$a_nx+b_ny=c$的一组整数解$(x_n,y_n)$，那么可以把$①②$两式代入$a_nx+b_ny=c$得：

\[(b_{n-1})x+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y=c
\]

且对于该方程，解$(x_n,y_n)$仍适用，即：

\[(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c
\]

成立，可以进行推导：

\[(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c
\\⇒b_{n-1}x_n+a_{n-1}y_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1} y_n=c
\\⇒a_{n-1}y_n+b_{n-1}(x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n)=c\ ③
\]

注意到两项的系数分别为$a_{n-1},b_{n-1}$，所以对于方程$a_{n-1}x+b_{n-1}y=c$，通过③式可以直接得到一组解：

\[\begin{cases}
x_{n-1}=y_n
\\y_{n-1}=x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n
\end{cases}
\]

由此，我们利用辗转相除法的关系，通过方程$a_nx+b_ny=c$的一组解$(x_n,y_n)$，推得了方程$a_{n-1}x+b_{n-1}y=c$的一组解$(x_{n-1},y_{n-1})$。

同样地，我们可以由$(x_i,y_i)$的一组解，得到方程$a_{i-1}x+b_{i-1}y=c$的一组解$(x_{i-1},y_{i-1})$

\[\begin{cases}
x_{i-1}=y_i
\\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i
\end{cases}
\]

由上，数学归纳法完成证明：如果我们得知$a_nx+b_ny=c$的一组解$(x_n,y_n)$，且$(a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)$是由辗转相除法得到的序列，那么我们就可以通过以上方法得到原方程$a_1x+b_1y=c$的解$(x_1,y_1)$。

然而，我们已经通过构造法得到$a_nx+b_ny=c$的一组解$(x_n,y_n)$，且保证c是p的倍数时，整数解$(x_n,y_n)$一定存在。故c是p的倍数时，方程$ax+by=c$一定有整数解。充分性得证。

实现

回归正题，看扩展欧几里得算法。

千万不要想着不看证明咯。裴蜀定理的充分性证明过程就是扩展欧几里得算法的流程。

先由辗转相除法求解$(a,b)$，得到$p=(a,b)$

同时，构造解$(x_n,y_n)$

\[\begin{cases}
x_n=\frac{c}{p}
\\∀y_n\in Z
\end{cases}
\]

在递归的回溯过程中，利用公式：

\[\begin{cases}
x_{i-1}=y_i
\\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i
\end{cases}
\]

倒推每一组$(a_i,b_i)$的解$(x_i,y_i)$。

最后得到$(a,b)$和原方程$ax+by=c$的一组解$(x,y)$。

至此，扩展欧几里得算法完成。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int Extended_Euclid(int a,int &x,int b,int &y,int c)

{

	if(b==0){x=c/a,y=0;return a;}

	else

	{

		int p=Extended_Euclid(b,x,a%b,y,c);

		int x_=x,y_=y;

		x=y_; y=x_-a/b*y_;

		return p;

	}

}

int main(void)

{

	int a,b,c;

	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

	int p,x,y;

	p=Extended_Euclid(a,x,b,y,c);

	printf("(%d,%d)=%d\n",a,b,p);

	printf("x=%d,y=%d\n",x,y);

}

<后记>