[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.2 应力张量

1.  在有粘性的情形, 外界流体对 $\Omega$ 的作用力, 不仅有表面上的压力 (正压力), 也有表面上的内摩擦力 (切应力).

2.  于 $M$ 处以 ${\bf n}$ 为法向的单位面积所受的面力 (${\bf n}$ 所指一侧的流体施加的) 为 $$\bex {\bf p}_n=\lim_{{\bf n}\perp \lap S\to 0}\cfrac{\lap {\bf p}}{\lap S}. \eex$$ 称为应力向量.

3.  记 $p_{ij}$ 为以 $x_j$ 为法向的面积元素上的应力向量的第 $i$ 个分量, 则称 ${\bf P}=(p_{ij})$ 为应力张量.

4.  通过四面体微元受力平衡知 $$\bex {\bf p}_n={\bf P}\cdot{\bf n},\quad \forall\ {\bf n}.  \eex$$ 故由张量识别定理, ${\bf P}$ 为二阶张量.

5.  又由正方体微元力矩平衡知 ${\bf P}$ 为对称张量 ($p_{ij}=p_{ji}$).