Codeforces1113F. Sasha and Interesting Fact from Graph Theory(组合数学 计数 广义Cayley定理)
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思路:
计数。树的结构和边权的计数可以分开讨论。
①假设从a到b的路径上有e条边,那么路径上就有e-1个点。构造这条路径上的点有$A_{n-2}^{e-1}$种方案;
②这条路径的权值的选择,可以用隔板法来做,相当于用e-1个隔板分开m个球,要求每个区间至少有一个球,那么就相当于在m-1个间隙里插入e-1个隔板,有$C_{m-1}^{e-1}$种方案;
③在路径之外的点还有n-e-1个,对应有n-e-1条边,每条边的权值可取[1, m],所以有mn-e-1种方案;
④在路径之外的点构造成树,相当于把剩下的点挂在之前的e+1个点上。这等价于从n个点建一个有e+1棵树,并且有e+1个节点分别在不同的树上,的森林。
根据广义Cayley定理可知,从x个点建一个有y棵树的森林,使得给定的y个节点各自属于不同的树上,的方案数为f(x, y) = y*xx-y-1;
【此处广义Cayley的理解参考了jklover的博客】
因此有f(n, e+1)种方案。
综上所述,a到b的路径上有e条边的方案数为plan(e) = $A_{n-2}^{e-1}*C_{m-1}^{e-1}*m^{n-e-1}*f(n, e+1)$。
实现代码:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std;
const int MAX_N = 1e6 + ;
const int md = 1e9 + ; inline int add(int a, int b) {
int res = (a+b)%md;
if (res < )
res += md;
return res;
}
inline int mul(int a, int b) {
return (int)(1LL * a * b % md);
}
int fpow(int a, int p) {
int res = ;
for (; p; p >>= ) {
if (p & )
res = mul(res, a);
a = mul(a, a);
}
return res;
}
inline int f(int x, int y) {
if (x == y)
return ;
return mul(y, fpow(x, x-y-));
} int fac[MAX_N], inv[MAX_N];
void init() {
fac[] = ;
for (int i = ; i < MAX_N; i++)
fac[i] = mul(fac[i-], i);
inv[MAX_N-] = fpow(fac[MAX_N-], md-);
for (int i = MAX_N-; i > ; i--)
inv[i-] = mul(inv[i], i);
} inline int A(int m, int n) {
return mul(fac[m], inv[m-n]);
}
inline int C(int m, int n) {
if (n > m)
return ;
return mul(A(m, n), inv[n]);
} int main()
{
init();
int n, m, a, b;
cin >> n >> m >> a >> b;
int ans = ;
for (int e = ; e <= n-; e++) {
int tmp = ;
tmp = mul(tmp, A(n-, e-));
tmp = mul(tmp, C(m-, e-));
tmp = mul(tmp, fpow(m, n-e-));
tmp = mul(tmp, f(n, e+));
ans = add(ans, tmp);
}
cout << ans << endl;
return ;
}
好久没写博客了呀(计数器劝退),不过碰到好题还是忍不住要回来扯两句QwQ。
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