BZOJ 1053 - 反素数ant - [数论+DFS][HAOI2007]

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1053

题解：

可以证明，$1 \sim N$ 中最大的反质数，就是 $1 \sim N$ 中约数个数最多的数中，最小的那个。

证明：假设 $1 \sim N$ 中最大的反质数 $x$ 不是 $1 \sim N$ 中约数个数最多的，那么必然存在至少一个不等于 $x$ 的数字 $y$，它是 $1 \sim N$ 中约数个数最多的数中最小的，显然有 $g(y) > g(x)$。

那么，分类讨论两种情况：

　　1、$x < y$，显然 $[1,y)$ 中不可能找到一个 $i$ 使得 $g(y) \le g(i)$，因此 $g(y)$ 是一个反质数，且 $x < y$，$y$ 优于 $x$，不可能选 $x$ 作为答案。

　　2、$y > x$，此时 $g(y) > g(x)$，$x$ 不是一个反质数，不应当选择 $x$ 作为答案。

因此，不管怎么样，都不可能选择 $x$ 作为答案，因此只能选择 $1 \sim N$ 中约数个数最多的数作为答案，又显然的，应当选这些数字中最小的那一个。

证毕。

然后，我们可以进一步考虑，在给出的 $N \le 2e9$ 的前提下，$1 \sim N$ 中的任何数，其不相同质因子的个数不会超过 $10$ 个，因为 $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 = 6469693230 > 2e9$。

同时，$1 \sim N$ 中的任何数，其任意一个质因子的幂次都不会超过 $30$，因为 $2^{31} > 2e9$。

最后，还可以证明 $x$ 如果是一个反质数，那么必然可以分解质因数成 $2^{c_1} \times 3^{c_2} \times 5^{c_3} \times 7^{c_4} \times 11^{c_5} \times 13^{c_6} \times 17^{c_7} \times 19^{c_8} \times 23^{c_9} \times 29^{c_{10}}$，且满足 $c_1 \ge c_2 \ge \cdots \ge c_{10} \ge 0$。

这个是因为，假设 $x$ 有一个质因子 $p>29$，那么 $2 \sim 29$ 这 $10$ 个质数必然至少有一个不能整除 $x$ 了，假设这个质数是 $q$，那么显然如果将 $p^k$ 换成 $q^k$，$x$ 就会变小，而且约数个数不变，也即存在一个 $x'<x$ 且 $g(x') = g(x)$，那么 $x$ 就不是反质数，证毕。

综上，我们可以暴力搜索  $2^{c_1} \times 3^{c_2} \times 5^{c_3} \times 7^{c_4} \times 11^{c_5} \times 13^{c_6} \times 17^{c_7} \times 19^{c_8} \times 23^{c_9} \times 29^{c_{10}}$ 中的 $c_1 \sim c_{10}$。我们可以通过 $c_1 \sim c_{10}$ 算出对应的约数个数，我们只需要维护约数个数最多的最小数即可。

AC代码（1A很舒服）：

/**************************************************************
    Problem: 1053
    User: Dilthey
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:24 ms
    Memory:1288 kb
****************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n;
int p[]={,,,,,,,,,}, c[];

pair<ll,int> ans;
void dfs(int pos,int limit,ll num,int cnt)
{
    if(pos>=)
    {
        if(cnt>ans.se) ans=mk(num,cnt);
        if(cnt==ans.se && num<ans.fi) ans=mk(num,cnt);
        return;
    }

    for(ll i=,now=;i<=limit;i++,now*=p[pos])
    {
        if(num*now>n) break;
        dfs(pos+,i,num*now,cnt*(i+));
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    ans=mk((ll)(2e9+),);
    dfs(,,1LL,);
    cout<<ans.fi<<endl;
}