【BZOJ4712】洪水（动态dp）

题面

BZOJ

然而是权限题QwQ，所以粘过来算了。

Description

小A走到一个山脚下，准备给自己造一个小屋。这时候，小A的朋友（op，又叫管理员）打开了创造模式，然后飞到

山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了：我们把这

个瀑布看成是一个n个节点的树，每个节点有权值（爬上去的代价）。小A要选择一些节点，以其权值和作为代价将

这些点删除（堵上），使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样

子太便宜小A了，于是他还会不断地修改地形，使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做

得太绝了，于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是，每次他只要在某个子树中（和子树之外的点完全

无关）。于是他找到你。

Input

输入文件第一行包含一个数n，表示树的大小。

接下来一行包含n个数，表示第i个点的权值。

接下来n-1行每行包含两个数fr，to。表示书中有一条边（fr，to）。

接下来一行一个整数，表示操作的个数。

接下来m行每行表示一个操作，若该行第一个数为Q，则表示询问操作，后面跟一个参数x，表示对应子树的根；若

为C，则表示修改操作，后面接两个参数x，to，表示将点x的权值加上to。

n<=200000，保证任意to都为非负数

Output

对于每次询问操作，输出对应的答案，答案之间用换行隔开。

Sample Input

4 3 2 1

1 2

1 3

4 2

Q 1

Q 2

C 4 10

Q 1

Sample Output

题解

设$f[i]$表示从$i$出发走不到所有其叶子节点的最小代价。

显然$f[i]=min(Val[i],\sum_vf[v])$，其中$Val$是删去这个点的权值，$v$是$i$的儿子。

换种写法的话，令$g[i]$表示已经考虑到的所有的儿子的$f[i]$之和，现在加入一棵新的子树$v$。那么就有$f[i]=min(Val[i],g[i]+f[v])$，这种东西似乎可以直接写成矩阵的形式。

其中矩阵乘法是$min$和$+$的形式。

既然要支持动态修改，显然动态dp来维护。

考虑在重链上如何转移，首先我们设$g$是所有轻儿子的$f[v]$的和。设$h$表示$i$的重儿子。

那么转移方程就是$f[i]=min(Val[i],g[i]+f[h])$。

那么，我们只考虑重链上的转移，即

$\begin{bmatrix}0&f[h]\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0&Val[i]\\\infty&g[i]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&f[i]\end{bmatrix}$

发现修改只会影响到$g$的值，那么直接改改就好了。

事实上那个$\infty$的位置随便写啥应该都没有问题的。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<vector>

using namespace std;

#define ll long long

#define MAX 200200

#define lson (now<<1)

#define rson (now<<1|1)

#define inf 1ll<<60

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

int n;

struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];

int h[MAX],cnt=1;

inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}

int dfn[MAX],ln[MAX],tim,fa[MAX],size[MAX],hson[MAX],top[MAX],bot[MAX];

void dfs1(int u,int ff)

{

	fa[u]=ff;size[u]=1;

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

	{

		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;

		dfs1(v,u);size[u]+=size[v];

		if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;

	}

}

void dfs2(int u,int tp)

{

	dfn[u]=++tim,ln[tim]=u;top[u]=tp;bot[u]=u;

	if(hson[u])dfs2(hson[u],tp),bot[u]=bot[hson[u]];

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

		if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])

			dfs2(e[i].v,e[i].v);

}

struct Matrix{ll s[2][2];}t[MAX<<2],tmp[MAX];

Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)

{

	Matrix ret;ret.s[0][0]=ret.s[0][1]=ret.s[1][0]=ret.s[1][1]=inf;

	for(int i=0;i<2;++i)

		for(int j=0;j<2;++j)

			for(int k=0;k<2;++k)

				ret.s[i][j]=min(ret.s[i][j],a.s[i][k]+b.s[k][j]);

	return ret;

}

ll f[MAX],g[MAX],val[MAX];

void dp(int u,int ff)

{

	f[u]=val[u];

	if(hson[u])dp(hson[u],u),f[u]=min(f[u],f[hson[u]]);

	else g[u]=inf;

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

		if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])

			dp(e[i].v,u),g[u]+=f[e[i].v];

	f[u]=min(f[u]+g[u],val[u]);

	tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};

}

void Build(int now,int l,int r)

{

	if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}

	int mid=(l+r)>>1;

	Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);

	t[now]=t[rson]*t[lson];

}

void Modify(int now,int l,int r,int p)

{

	if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}

	int mid=(l+r)>>1;

	if(p<=mid)Modify(lson,l,mid,p);

	else Modify(rson,mid+1,r,p);

	t[now]=t[rson]*t[lson];

}

Matrix Query(int now,int l,int r,int L,int R)

{

	if(l==L&&r==R)return t[now];

	int mid=(l+r)>>1;

	if(R<=mid)return Query(lson,l,mid,L,R);

	if(L>mid)return Query(rson,mid+1,r,L,R);

	return Query(rson,mid+1,r,mid+1,R)*Query(lson,l,mid,L,mid);

}

int GetVal(int x){return Query(1,1,n,dfn[x],dfn[bot[x]]).s[0][1];}

void Modify(int u)

{

	while(u)

	{

		tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};Modify(1,1,n,dfn[u]);

		u=top[u];if(u==1)break;

		g[fa[u]]-=f[u];f[u]=GetVal(u);

		g[fa[u]]+=f[u];u=fa[u];

	}

}

int main()

{

	n=read();

	for(int i=1;i<=n;++i)val[i]=read();

	for(int i=1;i<n;++i)

	{

		int u=read(),v=read();

		Add(u,v);Add(v,u);

	}

	dfs1(1,0);dfs2(1,1);dp(1,0);Build(1,1,n);

	int Q=read();

	while(Q--)

	{

		char ch[3];scanf("%s",ch);

		int u=read();

		if(ch[0]=='Q')printf("%d\n",GetVal(u));

		else val[u]+=read(),Modify(u);

	}

	return 0;

}