BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数(莫比乌斯+容斥原理)

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

Source

题目大意：求第$n$个无完全平方因子的数

如果直接硬求得话非常麻烦，因为我们无法确定枚举的范围，只能边枚举边统计，但这样一定会T

所以我们转换一下思路，二分一个mid，表示$1-mid$中有多少个无完全平方因子的数

我们把$mid$质因数分解为$p_1*p_2*\dots p_k$

设$A_i$表示$\frac{x}{i*i}$，即$1-x$中含有$i*i$这个因子的数的个数

那么答案为

$mid - (A_{p_1} + A_{p_2} + \cdots + A_{p_k}) + (A_{p_1 \cdot p_2} + A_{p_1 \cdot p_3} + \cdots + A_{p_{k-1} \cdot p_k}) + \cdots + (-1)^{k} A_{\prod_{i=1}^{k} p_i}$

然后不难发现每一项的系数即为$mu[k]$，$k$表示分解出来的质数的个数

一个数的平方因子最大为$sqrt(n)$，因此只要枚举到$sqrt(n)$就好

二分的上界有一个公式，设置为$2*x$就好

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#define int long long

using namespace std;

const int MAXN=1e6+;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int N;

int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=;

void GetMu()

{

    vis[]=;mu[]=;

    for(int i=;i<=N;i++)

    {

        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-;

        for(int j=;i*prime[j]<=N&&j<=tot;j++)

        {

            vis[i*prime[j]]=;

            if(i%prime[j]==){mu[i*prime[j]]=;break;}

            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

        }

    }

}

int check(int val)

{

    int limit=sqrt(val),ans=;

    for(int i=;i<=limit;i++)

        ans+=mu[i]*(val/(i*i));

    return ans;

}

main()

{

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in","r",stdin);

    #else

    #endif

    N=1e6+;

    GetMu();

    int QWQ=read();

    while(QWQ--)

    {

        int x=read();

        int l=,r=x<<,ans=;

        while(l<=r)

        {

            int mid=l+r>>;

            if(check(mid)>=x) ans=mid,r=mid-;

            else l=mid+;

        }

        printf("%d\n",ans);

    }

    return ;

}