hdu 6434 Count (欧拉函数)

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Problem Description

Multiple query, for each n, you need to get $$$$$$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{ [gcd(i + j, i - j) = 1]} $$$$$$

Input

On the first line, there is a positive integer T, which describe the number of queries. Next there are T lines, each line give a positive integer n, as mentioned above.
T<=1e5, n<=2e7

Output

Your output should include T lines, for each line, output the answer for the corre- sponding n.

Sample Input

4
978
438
233
666

Sample Output

194041
38951
11065
89963

题意

给定n，求代数式的值

分析

$$$gcd(i+j,i-j)$$$在形式上不够直观，不好分析，根据$$$gcd$$$的性质转化把它转化为$$$gcd(2j,i-j)$$$，通过交换求和顺序，并把$$$i-j$$$视为整体，原式转化为
$$$$$$
\begin{align}
\text{原式}&= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{ [gcd(i + j, i - j) = 1]}\\
&= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{[gcd(2j, i - j) = 1]}\\
&= \sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=j+1}^{n}{[gcd(2j, i-j) = 1]}\\
&= \sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=1}^{j-1}{[gcd(2j, i) = 1]}
\end{align}
$$$$$$

注意到$$$\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=1}^{j-1}$$$其实是在二维平面上三角形的区域内求和，于是进一步改写为：
$$$$$$
\sum_{i,j}^{i+j\le n}{[gcd(2j, i) = 1]}
$$$$$$

$$$$$$
\begin{align}
\text{令： }& f(n)=\sum_{i,j}^{i+j\le n}{[gcd(2j, i) = 1]}\\
& g(n)=f(n)-f(n-1)=\sum_{i,j}^{i+j=n}{[gcd(2j, i) = 1]}
\end{align}
$$$$$$
注意到当$$$i+j=n$$$时，代入$$$j=n-i$$$，可以消掉$$$j$$$，并利用gcd的性质，可以进一步简化$$$g(n)$$$：
$$$$$$
\begin{align}
g(n)&=\sum_{i=1}^{n-1}{[gcd(2n-2i, i) = 1]}\\
&=\sum_{i=1}^{n-1}{[gcd(2n, i) = 1]}
\end{align}
$$$$$$
所以接下来的问题就是，求$$$[1, n-1]$$$内，与$$$2n$$$互质的数有多少个。
这个问题可以继续简化，假设在$$$[1,n-1]$$$范围内，有$$$a_1,a_2,a_3,...a_p$$$与$$$2n$$$互质，那么根据gcd的性质，在$$$[n, 2n-1]$$$的范围内，相应的有$$$2n-a_1,2n-a_2,2n-a_3,...,2n-a_p$$$与$$$2n$$$互质。也就是说，两个范围内与$$$2n$$$互质的数是一样多的，所以结果很简单$$$g(n)$$$就是$$$\varphi(2n)$$$的一半，$$$g(n)=\varphi(2n)/2$$$。
$$$g(n)$$$已经不能再化简了，接下来再来看$$$f(n)$$$就容易多了，根据$$$f(n)$$$的递推式$$$g(n)=f(n)-f(n-1)$$$，很容易发现
$$$$$$
\begin{align}
f(n) &=\sum_{i=1}^{n}g(n) \\
& =\sum_{i=1}^{n}{\varphi(2n)/2}\\
& =\frac{\sum_{i=1}^{n}{\varphi(2n)}}{2}
\end{align}
$$$$$$
所以只需要对欧拉函数进行打表，并求$$$\varphi(2n)$$$的前缀和，就能知道任何的$$$f(n)$$$。
但是做到这还可以继续优化，这道题的n是2e7，但是却需要对前4e7项欧拉函数打表。可以这样优化一下空间：打表发现，欧拉函数满足下面的性质：
$$$$$$\varphi(2n)=
\begin{cases}
\varphi(n), & \text{n是奇数}\\[2ex]
2\varphi(n), & \text{n是偶数}
\end{cases}
$$$$$$
所以可以将$$$f(n)$$$改为：
$$$$$$
\begin{align}
f(n) &=\sum_{i=1}^{n}{\frac{(2-i\&1)\varphi(n)}{2}}\\
&=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\varphi(n)}{1+i\&1}}
\end{align}
$$$$$$
至此，只需要求出$$$\varphi(i)$$$的前2e7项，并求出上面的前缀和，就能在$$$O(nlogn)$$$求出答案。需要注意的是，前缀和需要用long long保存。另外有一点就是，打表4e7项欧拉函数可能会超时，原因在于板子的效率问题，改用效率更高的欧拉函数打表的板子就不存在超时的问题了（不要问我是怎么知道的）。

总结

为什么手速这么慢，一定是有什么地方想复杂了吧。

代码

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
#define maxn 20000000
int p[maxn+];
LL arr[maxn+];

int prepare(){
    int i,j;
    //打表欧拉函数
    for(i=; i<=maxn; i++)
        p[i]=i;
    for(i=; i<=maxn; i+=)
        p[i]/=;
    for(i=; i<=maxn; i+=)
        if(p[i]==i){
            for(j=i; j<=maxn; j+=i)
            p[j]=p[j]/i*(i-);
        }
       /*把规模从2n缩减到n的原因
    phi(2*n)=   phi(n) n奇数
              2*phi(n) n偶数
    arr[n]  =phi(2)/2+phi(4)/2+...phi(2*n)/?
            =phi(1)/2+phi(2)+...phi(n)/?
    */
    arr[]=p[]/;
    for(int i=;i<=;++i){//求前缀和
        arr[i]=arr[i-]+p[i]/((i&)+);
    }
}

int main(){
    prepare();
    int kase,n;
    for(scanf("%d",&kase);kase;--kase){
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",arr[n]);
    }

}