洛谷P2125图书馆书架上的书题解报告

题目描述

图书馆有n个书架，第1个书架后面是第2个书架，第2个书架后面是第3个书架……第n-1个书架后面是第n个书架，第n个书架后面是第1个书架，第i个书架上有b[i]本书。现在，为了让图书馆更美观，WZF神牛让蒟蒻SY搬动书架上的书，使每个书架上的书一样多。由于搬动的书可能会很多，所以蒟蒻SY只能将一个书架上的书搬到与其相邻的两个书架上。那么蒟蒻SY最少搬动几本书呢？

输入输出格式

输入格式：

共2行，第1行1个正整数n，第2行n个非负整数，第i个为b[i]。

输出格式：

共n+1行，第1行1个正整数m，表示蒟蒻SY最少搬动m本书，之后n行（即第2行至第n+1行）每行2个整数，第i行有两个整数af[i]和ab[i]，分别表示蒟蒻SY要将第i个书架上的af[i]本书和ab[i]本书分别搬到它前面的一个书架上和它后面的一个书架上。

输入输出样例

输入样例#1：

5

15 7 11 3 14

输出样例#1：

说明

n<=5000001（为保证有唯一解，n必为奇数），b[i]<= 21474803648（蒟蒻SY：俺当初一看到这儿就想哭。）

若af[i]为负数，则说明蒟蒻SY要把第i个书架前面的那个书架上的-af[i]本书搬到第i个书架上。

同理，若ab[i]为负数，则说明蒟蒻SY要把第i个书架后面的那个书架上的-ab[i]本书搬到第i个书架上。

题解：

在输入后我们统计求得最终每个书架上的数的数量m

设xi为第i个书架上的书，令xi-=m

我们设ai表示第i个书架向下一个书架移动了几本书

那么移动数ans=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+......+|an| 求最小值

当然那么多的变量不好找关系

由于每个书架上的书最终为m【自减m后最终为0】，那么有xi+a[i-1]-a[i]=0

这样子就有

a1=a1

a2=a1+x2

a3=a2+x3=a1+x2+x3

a4=a3+x4=a1+x2+x3+x4

......

那么ans=|a1|+|a1+x2|+|a1+x2+x3|+|a1+x2+x3+x4|+......

由于xi都为已知的常数，那么我们可以写成这样一个形式：

ans=|a1|+|a1+k1|+|a1+k2|+|a1+k3|+|a1+k4|+......

那么问题就转化成了如何求这堆绝对值的最小值

我们可以数形结合：想一想绝对值的集合意义是什么？

对！就是到原点的距离

我们把每个绝对值里的东西看作数轴上的一个点，那么这些点与a1的相对位置不变

也就是说我们在尝试改变a1的位置以谋求所有点到原点的距离和最小

当我们把a1向左移时，原点左边的点远离原点，原点左边的点接近原点，也就是说，【因为点数为奇数】当所有点的中位点处于原点时，ans就是最小的

这个时候问题就变得很简单啦，求出算出关于x的前缀和，然后排序求出中间点

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#define LL long long int

using namespace std;

const int maxn=5000005,INF=200000000;

inline LL read(){

	LL out=0,flag=1;char c=getchar();

	while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}

	while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}

	return out*flag;

}

LL A[maxn],sum[maxn],temp[maxn],N,tot=0;

int main()

{

	N=read();

	for(int i=1;i<=N;i++) tot+=(A[i]=read());

	tot/=N;

	A[1]-=tot;

	for(int i=2;i<=N;i++){

		A[i]-=tot;

		temp[i]=sum[i]=sum[i-1]+A[i];

	}

	sort(temp+1,temp+1+N);

	LL mid=-temp[(N>>1)+1],ans=0;

	for(int i=1;i<=N;i++) ans+=abs(mid+sum[i]);

	printf("%lld\n",ans);

	for(int i=1;i<=N;i++){

		printf("%lld %lld\n",-(mid+sum[i-1 ? i-1:N]),mid+sum[i]);

	}

	return 0;

}

这道题还是给了我们很多的思路，尤其是绝对值的几何意义，这可以给我们解题更多的启发