POJ1160, post office。动态规划的经典题目。呃,又是经典题目,DP部分的经典题目怎就这么多。木有办法,事实就这样。

求:在村庄内建邮局,要使村庄到邮局的距离和最小。

设有m个村庄,分别为 V1 V2 V3 … Vm, 要建n个邮局,分别为P1 P2 P3 … Pn。

在DP的问题中,经常有从m个物体中选n个物体的情况,本题显然也属于这种情况。一般可以这样考虑:假设已经选了1个,那么就成了在m-1个中选n-1个的问题了。

对于此题,也可以考虑先建一个邮局。建在哪里呢?不妨设,该邮局建在Vk+1..Vm之间的某个村庄里,而且规定Vk+1..Vm之间再不允许建立其他邮局了。因此,剩下的n-1个邮局必然出现在V1..Vk之间的村庄内,这样问题就转换成:在前k个村庄里选n-1个邮局的问题。

设dp( m,n )表示在V1…Vm之间建立n个邮局时的最短距离。

L( i, j )表示在Vi…Vj之间建立一个邮局的最短距离。

状态转换方程:

dp( m,n ) = Min( dp( k,n-1 ) + L( k+1,m ) ),    其中:1 <= k<m

编程实现:没啥说的,具体看代码。

POJ1037, a decorative fence。这个题绝对不是入门级的,如果能独立做出来,那已经很NB了。嘿嘿,这一大段英文,先要把题目看懂就得费些气力。

问题:有n个长度不同的木条,现在按照类似字典顺序(长度小的排在前)对这n个木条排序,求第m个图像是什么?

设这n个木条分别为S1 S2 S3…Sn,它们的对应长度分别为1 2 3...n.

对这n个木条进行排序,结果无非有下面n类: 以S1开头,以S2开头…以Sn开头。按照题目要求对这n类进行排序。

S1 。。。

S2 。。。

。。。

Sn 。。。

如果能算出每个区间有多少种排列,那么就能确定要求的第m个排列了。好抽象呀,还是举个例子吧。如果以S1开头的有10种排列,以S2开头的有10种排列…现在有n个木条,如果要确定第15个排列,那么就可以知道第15个排列必然是以S2开头的。因为已经知道了最终排列的第一个木条是S2,那么只要依次求出后面n-1个木条即可。如果能把S2开头的区间再划分成若干个区间,并且知道每个区间的大小就和上面的问题一样了。

S2 S1 。。。

S2 S3 。。。

。。。

S2 Sn 。。。

这时问题就转换为:有n-1个木条,现在要确定第5个排列(15-10=5,以S1开头的排列已占去了10个)

现在结合题目,题目要求出现波浪形,即有高度变换。这时以Si开头的排列又可以分成两类:第二个木条比Si高,我们记做Hi, 第二个木条比Si低,我们记做Li。这时区间细分成如下形式:

L1 。。。

H1 。。。

L2 。。。

H2 。。。

。。。。。。

Ln 。。。

Hn 。。。

要确定最终的排列,关键是要知道每个区间里排列的个数。

设L( x,n )表示n个木条的排列中,以长度为x的木条开始,且下一个木条比X低的排列数。H( x,n )表示n个木条的排列中,以长度为x的木条开始,且下一个比X高的的排列数

状态转换方程:

L( x, n ) = , 其中 1 <= i < x

H( y, n ) = , 其中 y <= i < n

有状态方程在手,就可以依次确定要求排列的每个木条。

参考资料:

http://jay23jack.blog.163.com/blog/static/317951942009130215813/

http://blog.163.com/leyni@126/blog/static/16223010220103150173663/

POJ1160

  1. #include <iostream>
  2. using namespace std;
  3. //***********************常量定义*****************************
  4. const int V_MAX = 305;
  5. const int P_MAX = 35;
  6. const int INF = 999999999;
  7. //*********************自定义数据结构*************************
  8. //********************题目描述中的变量************************
  9. //村庄数
  10. int vNum;
  11. //邮局数
  12. int pNum;
  13. //村庄坐标
  14. int vPos[V_MAX];
  15. //**********************算法中的变量**************************
  16. //d[i][j]表示在村庄i和村庄j之间建1个Post office的最小距离和
  17. int d[V_MAX][V_MAX];
  18. //dp[i][j]表示在村庄1和村庄i之间建j个Post office的最小距离和
  19. int dp[V_MAX][P_MAX];
  20. //***********************算法实现*****************************
  21. void Solve()
  22. {
  23. int i, j, k;
  24. //利用DP,计算d[i][j]的值
  25. for( i=1; i<=vNum; i++ )
  26. {
  27. for( j=i+1; j<=vNum; j++ )
  28. {
  29. d[i][j] = d[i][j-1] + ( vPos[j] - vPos[( i + j )/2] );
  30. }
  31. }
  32. for( i=1; i<=vNum; i++ )
  33. {
  34. dp[i][0] = INF;
  35. }
  36. //利用DP,计算dp[i][j]的值
  37. for( i=1; i<=vNum; i++ )
  38. {
  39. for( j=1; j<=pNum && j<=i; j++ )
  40. {
  41. int min = INF;
  42. for( k=j-1; k<i; k++ )
  43. {
  44. if( dp[k][j-1] + d[k+1][i] < min )
  45. min = dp[k][j-1] + d[k+1][i];
  46. }
  47. dp[i][j] = min;
  48. }
  49. }
  50. cout << dp[vNum][pNum] << endl;
  51. }
  52. //************************main函数****************************
  53. int main()
  54. {
  55. //freopen( "in.txt", "r", stdin );
  56. cin >> vNum >> pNum;
  57. for( int i=1; i<=vNum; i++ )
  58. {
  59. cin >> vPos[i];
  60. }
  61. Solve();
  62. return 0;
  63. }

POJ1037

  1. #include <iostream>
  2. using namespace std;
  3. //***********************常量定义*****************************
  4. const int MAX_N = 25;
  5. //*********************自定义数据结构*************************
  6. //********************题目描述中的变量************************
  7. //木条的数目
  8. int n;
  9. //栅栏的编号
  10. long long c;
  11. //**********************算法中的变量**************************
  12. //up[n][i]表示:n个木条,且第一个木条长度为i的上升型栅栏数目
  13. long long up[MAX_N][MAX_N];
  14. //down[n][i]表示:n个木条,且第一个木条长度为i的下降型栅栏数目
  15. long long down[MAX_N][MAX_N];
  16. bool used[MAX_N];
  17. bool isPrint;
  18. //***********************算法实现*****************************
  19. void FillTable()
  20. {
  21. down[1][1] = 1;
  22. up[1][1] = 1;
  23. down[2][1] = 0;
  24. up[2][1] = 1;
  25. down[2][2] = 1;
  26. up[2][2] = 0;
  27. int i, j, k;
  28. for( i=3; i<MAX_N; i++ )
  29. {
  30. //??? j<=MAX_N
  31. for( j=1; j<MAX_N; j++ )
  32. {
  33. //??? k=j
  34. for( k=j; k<i; k++ )
  35. {
  36. up[i][j] += down[i-1][k];
  37. }
  38. for( k=1; k<j; k++ )
  39. {
  40. down[i][j] += up[i-1][k];
  41. }
  42. }
  43. }
  44. }
  45. void SolveAndPrint( int id, int count )
  46. {
  47. for( int i=1; i<=count; i++ )
  48. {
  49. if( used[i] && i<=id )
  50. {
  51. id++;
  52. count++;
  53. }
  54. }
  55. used[id] = true;
  56. if( isPrint )
  57. {
  58. cout << " " << id;
  59. }
  60. else
  61. {
  62. cout << id;
  63. isPrint = true;
  64. }
  65. }
  66. //************************main函数****************************
  67. int main()
  68. {
  69. //freopen( "in.txt", "r", stdin );
  70. int caseNum;
  71. cin >> caseNum;
  72. //DP的填表
  73. FillTable();
  74. while( caseNum-- )
  75. {
  76. cin >> n >> c;
  77. //先搜索down
  78. bool isDown = true;
  79. bool isFirst = true;
  80. int id = 1;
  81. isPrint = false;
  82. memset( used, 0, sizeof(used) );
  83. while( n )
  84. {
  85. if( isDown )
  86. {
  87. if( c > down[n][id] )
  88. {
  89. c -= down[n][id++];
  90. if( isFirst )
  91. {
  92. //设置标记,下次搜索up
  93. isDown = false;
  94. //对每个id有down和up两个值
  95. //确定第一个数时,down和up都要搜索
  96. id--;
  97. }
  98. }
  99. else
  100. {
  101. //如果当前木条长度可确定
  102. //问题规模减一
  103. SolveAndPrint( id, n-- );
  104. isFirst = false;
  105. isDown = false;
  106. id = 1;
  107. }
  108. }
  109. else
  110. {
  111. if( c > up[n][id] )
  112. {
  113. c -= up[n][id++];
  114. if( isFirst )   isDown = true;
  115. }
  116. else
  117. {
  118. SolveAndPrint( id, n-- );
  119. isFirst = false;
  120. isDown = true;
  121. }
  122. }
  123. }
  124. cout << endl;
  125. }
  126. return 0;
  127. }

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