2005 年诺贝尔经济学奖得主托马斯·谢林（Thomas Schelling）在上世纪 70 年代就纽约的人种居住分布得出了著名的 Schelling segregation model，这是一个 ABM（agent-based model），当年谢林只能通过铅笔在纸上进行模拟，而这次则利用 Python 进行仿真实现这个模型。

在计算机科学中，基于 Agent 的模型（agent-based models）被用来评估独立（autonomous）agent（诸如个体、群组或物体）在整个系统中的影响。这个强大的分析工具常被用在实验难以开展或者费用太高的时候。在社会科学，计算机科学，经济学和商务各领域，这个模型都有着相当广泛的应用。

在本文中，我会向你介绍用基于 Agent 的模型理解复杂现象的威力。为此，我们会用到一些 Python，社会学的案例分析和 Schelling 模型。

1. 案例分析

如果你观察多民族（multi-ethnic）混居城市的种族（racial）分布，你会对不可思议的种族隔离感到惊讶。举个例子，下面是美国人口普查局（US Census）用种族和颜色对应标记的纽约市地图。种族隔离清晰可见。

许多人会从这个现象中认定人是偏隘的（intolerant），不愿与其它种族比邻而居。然而进一步看，会发现细微的差别。2005 年的诺贝尔经济学奖得主托马斯·谢林（Thomas Schelling）在上世纪七十年代，就对这方面非常感兴趣，并建立了一个基于 Agent 的模型——“Schelling 隔离模型”的来解释这种现象。借助这个极其简单的模型，Schelling 会告诉我们，宏观所见并非微观所为（What’s going down）。

我们会借助 Schelling 模型模拟一些仿真来深刻理解隔离现象。

图片来源

2. Schelling 隔离模型：设置和定义

基于 Agent 的模型需要三个参数：1）Agents，2）行为（规则）和 3）总体层面（aggregate level）的评估。在 Schelling 模型中，Agents 是市民，行为则是基于相似比（similarity ratio ）的搬迁，而总体评估评估就是相似比。

假设城市有 n 个种族。我们用唯一的颜色来标识他们，并用网格来代表城市，每个单元格则是一间房。要么是空房子，要么有居民，且数量为 1。如果房子是空的，我们用白色标识。如果有居民，我们用此人的种群颜色来标识。我们把每个人周边房屋（上下左右、左上右上、左下右下）定义为邻居。

Schelling 的目的是想测试当居民更倾向于选择同种族的邻居（甚至多种族）时会如果发生什么。如果同种族邻居的比例上升到确定阈值（称之为相似性阈值（Similarity Threshold）），那么我们认为这个人已经满意（satisfied）了。如果还没有，就是不满意。

Schelling 的仿真如下。首先我们将人随机分配到城里并留空一些房子。对于每个居民，我们都会检查他（她）是否满意。如果满意，我们什么也不做。但如果不满意，我们把他分配到空房子。仿真经过几次迭代后，我们会观察最终的种族分布。

3. Schelling 模型的 Python 实现

早在上世纪 70 年代，Schelling 就用铅笔和硬币在纸上完成了他的仿真。我们现在则用 Python 来完成相同的仿真。

为了模拟仿真，我们首先导入一些必要的库。除了 Matplotlib 以外，其它库都是 Python 默认安装的。

 
 
 
 
 

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import matplotlib.pyplot as plt
import itertools
import random
import copy
 

接下来，定义名为 Schelling 的类，涉及到 6 个参数：城市的宽和高，空房子的比例，相似性阈值，迭代数和种族数。我们在这个类中定义了 4 个方法：populate，is_unsatisfied,update,move_to_empty, 还有 plot）。

 
 
 
 
 
 

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class Schelling:
    def __init__(self, width, height, empty_ratio, similarity_threshold, n_iterations, races = 2):
        self.width = width
        self.height = height
        self.races = races
        self.empty_ratio = empty_ratio
        self.similarity_threshold = similarity_threshold
        self.n_iterations = n_iterations
        self.empty_houses = []
        self.agents = {}
 
    def populate(self):
        ....
 
    def is_unsatisfied(self, x, y):
        ....
 
    def update(self):        
        ....
 
    def move_to_empty(self, x, y):
        ....
 
    def plot(self):
        ....
 

poplate 方法被用在仿真的开头，这个方法将居民随机分配在网格上。

 
 
 
 
 
 

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def populate(self):
    self.all_houses = list(itertools.product(range(self.width),range(self.height)))
    random.shuffle(self.all_houses)
 
    self.n_empty = int( self.empty_ratio * len(self.all_houses) )
    self.empty_houses = self.all_houses[:self.n_empty]
 
    self.remaining_houses = self.all_houses[self.n_empty:]
    houses_by_race = [self.remaining_houses[i::self.races] for i in range(self.races)]
    for i in range(self.races):
        # 为每个种族创建 agent
        self.agents = dict(
                            self.agents.items() +
                            dict(zip(houses_by_race[i], [i+1]*len(houses_by_race[i]))).items()
 

is_unsatisfied 方法把房屋的 (x, y) 坐标作为传入参数，查看同种群邻居的比例，如果比理想阈值（happiness threshold）高则返回 True，否则返回 False。

 
 
 
 
 
 

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def is_unsatisfied(self, x, y):
 
    race = self.agents[(x,y)]
    count_similar = 0
    count_different = 0
 
    if x > 0 and y > 0 and (x-1, y-1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x-1, y-1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1
    if y > 0 and (x,y-1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x,y-1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1
    if x < (self.width-1) and y > 0 and (x+1,y-1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x+1,y-1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1
    if x > 0 and (x-1,y) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x-1,y)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1        
    if x < (self.width-1) and (x+1,y) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x+1,y)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1
    if x > 0 and y < (self.height-1) and (x-1,y+1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x-1,y+1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1        
    if x > 0 and y < (self.height-1) and (x,y+1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x,y+1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1        
    if x < (self.width-1) and y < (self.height-1) and (x+1,y+1) not in self.empty_houses:
        if self.agents[(x+1,y+1)] == race:
            count_similar += 1
        else:
            count_different += 1
 
    if (count_similar+count_different) == 0:
        return False
    else:
        return float(count_similar)/(count_similar+count_different) < self.happy_threshold
 

update 方法将查看网格上的居民是否尚未满意，如果尚未满意，将随机把此人分配到空房子中。并模拟 n_iterations 次。

 
 
 
 
 

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def update(self):
    for i in range(self.n_iterations):
        self.old_agents = copy.deepcopy(self.agents)
        n_changes = 0
        for agent in self.old_agents:
            if self.is_unhappy(agent[0], agent[1]):
                agent_race = self.agents[agent]
                empty_house = random.choice(self.empty_houses)
                self.agents[empty_house] = agent_race
                del self.agents[agent]
                self.empty_houses.remove(empty_house)
                self.empty_houses.append(agent)
                n_changes += 1
        print n_changes
        if n_changes == 0:
            break
 

move_to_empty 方法把房子坐标(x, y)作为传入参数，并将 (x, y) 房间内的居民迁入空房子。这个方法被 update 方法调用，会把尚不满意的人迁入空房子。

 
 
 
 
 

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def move_to_empty(self, x, y):
    race = self.agents[(x,y)]
    empty_house = random.choice(self.empty_houses)
    self.updated_agents[empty_house] = race
    del self.updated_agents[(x, y)]
    self.empty_houses.remove(empty_house)
    self.empty_houses.append((x, y))
 

plot 方法用来绘制整个城市和居民。我们随时可以调用这个方法来了解城市的居民分布。这个方法有两个传入参数：title 和 file_name。

 
 
 
 
 
 

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def plot(self, title, file_name):
    fig, ax = plt.subplots()
    # 如果要进行超过 7 种颜色的仿真，你应该相应地进行设置
    agent_colors = {1:'b', 2:'r', 3:'g', 4:'c', 5:'m', 6:'y', 7:'k'}
    for agent in self.agents:
        ax.scatter(agent[0]+0.5, agent[1]+0.5, color=agent_colors[self.agents[agent]])
 
    ax.set_title(title, fontsize=10, fontweight='bold')
    ax.set_xlim([0, self.width])
    ax.set_ylim([0, self.height])
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
    plt.savefig(file_name)
 

4. 仿真

现在我们实现了 Schelling 类，可以模拟仿真并绘制结果。我们会按照下面的需求（characteristics）进行三次仿真：

  • 宽 = 50，而高 = 50（包含 2500 间房子）
  • 30% 的空房子
  • 相似性阈值 = 30%（针对仿真 1），相似性阈值 = 50%（针对仿真 2），相似性阈值 = 80%（针对仿真 3）
  • 最大迭代数 = 500
  • 种族数量 = 2

创建并“填充”城市。

 
 
 
 
 

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schelling_1 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.3, 500, 2)
schelling_1.populate()
 
schelling_2 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.5, 500, 2)
schelling_2.populate()
 
schelling_3 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.8, 500, 2)
schelling_3.populate()
 

接下来，我们绘制初始阶段的城市。注意，相似性阈值在城市的初始状态不起作用。

 
 
 
 
 
 

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schelling_1_1.plot('Schelling Model with 2 colors: Initial State', 'schelling_2_initial.png')
 

下面我们运行 update 方法，绘制每个相似性阈值的最终分布。厦门叉车出租

 
 
 
 
 
 

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schelling_1.update()
schelling_2.update()
schelling_3.update()
 
schelling_1.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 30%', 'schelling_2_30_final.png')
schelling_2.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 50%', 'schelling_2_50_final.png')
schelling_3.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 80%', 'schelling_2_80_final.png')
 

观察以上的绘图，我们可以发现相似性阈值越高，城市的隔离度就越高。此外，我们还会发现即便相似性阈值很小，城市依旧会产生隔离。换言之，即使居民非常包容（tolerant）（相当于相似性阈值很小），还是会以隔离告终。我们可以总结出：宏观所见并非微观所为。

5. 测量隔离

以上仿真，我们只通过可视化来确认隔离发生。然而，我们却没有对隔离的计算进行定量评估。本节我们会定义这个评估标准，我们也会模拟一些仿真来确定理想阈值和隔离程度的关系。

首先在 Schelling 类中添加 calculate_similarity 方法。这个方法会计算每个 Agent 的相似性并得出均值。我们会用平均相似比评估隔离程度。

 
 
 
 
 
 

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def calculate_similarity(self):
    similarity = []
    for agent in self.agents:
        count_similar = 0
        count_different = 0
        x = agent[0]
        y = agent[1]
        race = self.agents[(x,y)]
        if x > 0 and y > 0 and (x-1, y-1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x-1, y-1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1
        if y > 0 and (x,y-1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x,y-1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1
        if x < (self.width-1) and y > 0 and (x+1,y-1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x+1,y-1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1
        if x > 0 and (x-1,y) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x-1,y)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1        
        if x < (self.width-1) and (x+1,y) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x+1,y)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1
        if x > 0 and y < (self.height-1) and (x-1,y+1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x-1,y+1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1        
        if x > 0 and y < (self.height-1) and (x,y+1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x,y+1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1        
        if x < (self.width-1) and y < (self.height-1) and (x+1,y+1) not in self.empty_houses:
            if self.agents[(x+1,y+1)] == race:
                count_similar += 1
            else:
                count_different += 1
        try:
            similarity.append(float(count_similar)/(count_similar+count_different))
        except:
            similarity.append(1)
    return sum(similarity)/len(similarity)
 

接下去，我们算出每个相似性阈值的平均相似比，并绘制出相似性阈值和相似比之间的关系。

 
 
 
 
 
 

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similarity_threshold_ratio = {}
for i in [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7]:
    schelling = Schelling(50, 50, 0.3, i, 500, 2)
    schelling.populate()
    schelling.update()
    similarity_threshold_ratio[i] = schelling.calculate_similarity()
 
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(similarity_threshold_ratio.keys(), similarity_threshold_ratio.values(), 'ro')
ax.set_title('Similarity Threshold vs. Mean Similarity Ratio', fontsize=15, fontweight='bold')
ax.set_xlim([0, 1])
ax.set_ylim([0, 1.1])
ax.set_xlabel("Similarity Threshold")
ax.set_ylabel("Mean Similarity Ratio")
plt.savefig('schelling_segregation_measure.png')
 

通过上图，可以发现即便相似性阈值非常小，依然会得到很高的隔离度（由平均相似性评估）。举个例子，相似阈值为 0.3，会得到 0.75 的平均相似性。我们可以通过量化再次确定宏观所见并非微观所为。

6. 总结

在本文中，我们介绍了一个基于 Agent 的模型——“Schelling 隔离模型”，并用 Python 实现。这个十分简单的模型帮助我们理解了非常复杂的现象：多民族城市中的种族隔离。我们可以发现城市种族的高度隔离不必解读成个体层面的偏隘。

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