poj3728(lca / tarjan离线)
题目链接: http://poj.org/problem?id=3728
题意: 给出一棵带点权值的树, 对于 q 组形如 x, y 的询问, 一个人要从 x 到 y(单向), 他可以在路上任意一点以此点的的权值买一件物品, 并在接下来的路程中任意一点将其以该点的权值卖出, 输出其最大收益, 若不能获益则输出 0 .
思路: 若不考虑时间复杂度的话对于询问 x, y. 可以先求出 lca(x, y), 然后再 x -> lca -> y 路径上求一下最大收益即可. 然而这样会 tle.
可以考虑一下化简后面部分.
对于一组询问 x, y. 最大收益有 3 种情况:
1. x -> lca 过程中取得最大值
2. lca -> y 过程中取得最大值
3. lca -> y 中的最大权值减去 x -> lca 中的最小权值
为了方便处理这 3 种情况, 分别取
up 数组, up[x] 为 x -> lca 过程中能取得的最大值
dow 数组, dow[x] 为 lca -> x 过程中能取得的最大值
mi 数组, mi[x] 为 x -> lca 过程中最小权值
mx 数组, mx[x] 为 x -> lca 过程中最大权值
则第三种情况为: mx[y] - mi[x]
那么 x, y 的最大收益可以表示为: max(max(up[x], dow[y]), mx[y] - mi[x])
然而如果对于每一组 x, y 都更新一遍 up, dow, mi, mx 数组的话, 显然也是会 tle 的, 但是我们并没有必要那样做.
若对于询问 x, y, 我们已经的到了对应的 up, dow, mi, mx 数组, 那么对于 lca 在 lca(x, y) 上面的询问, 即对于 lca 为 lca(x, y) 祖先节点的询问 x1, x2,
假设 lca(x, y) 在 lca(x1, y1) 左子树中, 我们可以只更新 lca(x, y) 和 y1 到 lca(x1, y1) 对应的数组即可, 而无需更新 x1, y1 到 lca(x1, y1) 对应的数组.
如此, 我们可以按照询问的 lca 值从树的底层向上更新答案, 只需遍历一次树即可.
具体操作为; 在 tarjan 递归过程中先处理出所有询问的 lca, 然后在回溯时按 lca 自底向上更新答案即可.
代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std; const int MAXN = 5e4 + ;
struct node{
int v, ip, next;
node(){};
node(int V, int IP, int NEXT) : v(V), ip(IP), next(NEXT){};
}edge1[MAXN << ], edge2[MAXN << ], edge3[MAXN << ]; int pre[MAXN], a[MAXN], b[MAXN];
int head1[MAXN], head2[MAXN], head3[MAXN], id1, id2, id3;
int vis[MAXN], up[MAXN], dow[MAXN], mi[MAXN], mx[MAXN], sol[MAXN]; void init(void){
memset(vis, , sizeof(vis));
memset(head1, -, sizeof(head1));
memset(head2, -, sizeof(head2));
memset(head3, -, sizeof(head3));
id1 = id2 = id3 = ;
} void addedge1(int u, int v, int ip){
edge1[id1] = node(v, ip, head1[u]);
head1[u] = id1++;
} void addedge2(int u, int v, int ip){
edge2[id2] = node(v, ip, head2[u]);
head2[u] = id2++;
} void addedge3(int u, int v, int ip){
edge3[id3] = node(v, ip, head3[u]);
head3[u] = id3++;
} int find(int v){//压缩路径并处理路径上的 up, dow, mi, mx 数组
if(v == pre[v]) return v;//到叶子节点或者下面的lca时停止递归
int fa = pre[v];
pre[v] = find(pre[v]);
up[v] = max(max(up[v], up[fa]), mx[fa] - mi[v]);//以 v -> lca 为入边
dow[v] = max(max(dow[v], dow[fa]), mx[v] - mi[fa]);//以 lca -> v 为出边
mi[v] = min(mi[v], mi[fa]);
mx[v] = max(mx[v], mx[fa]);
return pre[v];
} void tarjan(int u){
vis[u] = ;
pre[u] = u;
for(int i = head2[u]; i != -; i = edge2[i].next){
int v = edge2[i].v;
int ip = edge2[i].ip;
if(vis[v]){
int f = find(v);
addedge3(f, v, ip);//记录以 f 为 lca 的询问
}
}
for(int i = head1[u]; i != -; i = edge1[i].next){
int v = edge1[i].v;
if(!vis[v]){
tarjan(v);
pre[v] = u;
}
}
for(int i = head3[u]; i != -; i = edge3[i].next){//回溯时计算以 u 为 lca 的询问
int ip = edge3[i].ip;
find(a[ip]);
find(b[ip]);
sol[ip] = max(max(up[a[ip]], dow[b[ip]]), mx[b[ip]] - mi[a[ip]]);
}
} int main(void){
int n, x, y, q;
while(~scanf("%d", &n)){
init();
for(int i = ; i <= n; i++){
scanf("%d", &x);
up[i] = dow[i] = ;
mi[i] = mx[i] = x;
}
for(int i = ; i < n; i++){
scanf("%d%d", &x, &y);
addedge1(x, y, i);
addedge1(y, x, i);
}
scanf("%d", &q);
for(int i = ; i < q; i++){
scanf("%d%d", &x, &y);
a[i] = x;
b[i] = y;
addedge2(x, y, i);
addedge2(y, x, i);
}
tarjan();
for(int i = ; i < q; i++){
printf("%d\n", sol[i]);
}
}
return ;
}
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