树&二叉树&哈夫曼树

1.树

　　需要注意的两点：n(n>=0)表示结点的个数，m表示子树的个数

　　（1）n>0时，树的根节点是唯一的。

　　（2）m>0时，子树的个数没有限制。

　　结点的度和树的度

　　（1）结点的度是指结点拥有的子树数

　　（2）树的度是指树的各结点的度的最大值

　　树的深度（Depth）

　　树中结点的最大层次

  　　　　　 1
         /    \
        2       3
       /\        \
      4  5        6
　　此树的深度是3
　　
　　

　　树和图有什么区别？
　　树其实就是不包含回路的连通无向图。
　　

　　   

　　上面这个例子中左边的是一棵树，而右边的是一个图。因为左边的没有回路，而右边的存在1->2->5->3->1这样的回路。

　　（1）正是因为树有着“不包含回路”这个特点，所以树就被赋予了很多特性。

　　（2）一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通。

　　（3）一棵树如果有n个结点，那么它一定恰好有n-1条边。

2.二叉树
　　特点：
　　　　（1）每个结点最多有两棵子树
　　　　（2）左子树和右子树都是有顺序的，次序不能任意颠倒
　　　　（3）即使树中某结点只有一颗子树，也要区分是左子树还是右子树

　　　　　　 1
              \
           　　 3
      
　　  3就是1的右子树

　　　二叉树的常见性质：

　　  性质1 在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点(i>=1)

　　  性质2 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

　　  性质3 满二叉树，在一棵深度为k且有2^k-1个结点。完全二叉树，若一棵深度为k的二叉树，其前k-1层是一个棵满二叉树，而最下面一层(即第k层)上的结点都集中在该层最左边的若干位置上。

　　  性质4 对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数（叶子结点数）为n₀,度为2的结点数为n_2,则n₀=n₂+1

　　  性质5 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1

　　   栗子1：
　　   具有300个结点的二叉树，其高度（深度）至少为9
　　　　9层：至多：2⁹-1=512-1=511
　　　　8层：至多：2⁸-1=256-1=255
　　
　　   栗子2：
　　   已知一颗完全二叉树的第6层（设根是第1层）有8个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是多少？
　　　　第6层至多有2^6-1=32个，因为有8个叶结点，所以有24个子结点。又因为是完全二叉树，则第7层最多有24*2=48个叶结点。

　　　　前6层至多2⁶-1=63个，所以该完全二叉树的结点数最多是48+63=111

　　  栗子3：

　　 一个具有20个叶子节点的二叉树、它有（）个度为2的节点　
　　　　可知n0=20，由n0=n2+1，可以得到n2=19

　　 栗子4：
　　 设树T的度为4,其中度为1,2,3和4的结点个数分别为4,2,1,1,则T中的叶子数为()

　　　　　一棵含有n个结点的树，有n-1个分支，即 n = 1*4 + 2*2 + 3*1 + 4*1 + 1 = 16;

　　　　又由于 n = n0 + n1 + n2 + n3 + n4 = n0 + 8;

　　　　n0 + 8 = 16，所有叶子结点个数为8
　　   栗子5：
　　  对于有n个结点的二叉树,其高度为()

　　　　正确答案: D

　　　　A.nlog2n

　　　B.log2n

　　　C.[log2n]+1

　　　D.不确定

　　解释：如果是完全二叉树则是[log 2 n]+1，有计算公式。其他的二叉树没有规律，是没有计算公式的，也是不确定的，只能知道其高度的范围是：[log2n ]+1 到 n

　　     栗子6：

　　　完全二叉树共有700结点，该二叉树有多少个叶子结点？　

   　对于二叉树总的结点数是：n=n0+n1+n2　
　　由性质4知，n0=n2+1　
　　所以，n0+n1+n0-1=700，又n1只能去0或1，故此处选1
　　2n0=700，n0=350

　完全二叉树和满二叉树
　　　　
　　

　　　二叉树的两种存储结构

　　  （1）顺序存储（一般只用于完全二叉树）适用性不强

　　　　对于完全二叉树而言，可以使用顺序存储结构。但是对于一般的二叉树来说，使用存储结构会有两个缺点：
　　　　一、如果不是完全二叉树，则必须将其转化为完全二叉树，
　　　　二、是增加了很多虚节点，浪费资源空间。
　　

　　　　（2） 链式存储

　　　　这是最常用的一种二叉树存储结构。

　　　　每个结点设置三个域，即值域，左指针域和右指针域，用data表示值域，lchild和rchild分别表示指向左右子树的指针域。如图所示。

　　遍历二叉树
　　前，中，后序遍历，这个前、中、后都是相对于根节点而言的，都是从根节点出发，按照某种次序一次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问的次数有且只有一次
　　前序遍历（先根遍历）：根-->左-->右
　　中序遍历（中根遍历）：左-->根-->右（左，是从最下层结点的左子树开始遍历）
　　后序遍历（后根遍历）：叶子-->结点-->根节点（按照先左子树，后右子树，最后访问根节点）
　　层序遍历：从树的第一层，也就是根节点开始访问，从上到下一层一层遍历，其中在同一层，就按照从左到右的顺序访问
　　　　
前序遍历：
12-9-76-35-22-16-48-46-40-90-
中根遍历：
9--12--16--22--35--40--46--48--76--90--
后根遍历：
9---16---22---40---46---48---35---90---76---12---

实现代码：二叉树的创建和遍历都是利用了递归的思想

package package2;
public class BinaryTree {

 int data;      //根节点数据
 BinaryTree left;    //左子树
 BinaryTree right;   //右子树

 public BinaryTree(int data)    //实例化二叉树类
 {
  this.data = data;
  left = null;
  right = null;
 }

 public void insert(BinaryTree root,int data){     //向二叉树中插入子节点
  if(data>root.data)                               //二叉树的左节点都比根节点小
  {
   if(root.right==null){
    root.right = new BinaryTree(data);
   }else{
    this.insert(root.right, data);//利用了递归
   }
  }else{                                          //二叉树的右节点都比根节点大
   if(root.left==null){
    root.left = new BinaryTree(data);
   }else{
    this.insert(root.left, data);//利用了递归
   }
  }
 }
}

/*当建立好二叉树类后可以创建二叉树实例，并实现二叉树的先根遍历，中根遍历，后根遍历，代码如下：*/
package package2;
public class BinaryTreeTraverse {

 public static void preOrder(BinaryTree root){  //先根遍历
  if(root!=null){
   System.out.print(root.data+"-");
   preOrder(root.left);
   preOrder(root.right);
  }
 }

 public static void inOrder(BinaryTree root){     //中根遍历

  if(root!=null){
   inOrder(root.left);
   System.out.print(root.data+"--");
   inOrder(root.right);
  }
 }

 public static void postOrder(BinaryTree root){    //后根遍历

  if(root!=null){
   postOrder(root.left);
   postOrder(root.right);
   System.out.print(root.data+"---");
  }
 }

 public static void main(String[] str){
  int[] array = {12,76,35,22,16,48,90,46,9,40};
  BinaryTree root = new BinaryTree(array[0]);   //创建二叉树
  for(int i=1;i<array.length;i++){
   root.insert(root, array[i]);       //向二叉树中插入数据
  }
  System.out.println("先根遍历：");
  preOrder(root);
  System.out.println();
  System.out.println("中根遍历：");
  inOrder(root);
  System.out.println();
  System.out.println("后根遍历：");
  postOrder(root);
  }
}

3.推导遍历结果
三种情况：
（1）已知前序遍历和中序遍历，可以唯一确定一棵二叉树

　（2）已知后序遍历和中序遍历，可以唯一确定一棵二叉树

（3）已知前序遍历和后序遍历，是不能确定一棵二叉树的

推导方法：
（1）先确定根节点。可以根据前序的第一个元素或后序的最后一个元素来确定
（2）确定第一个根节点的左子树和右子树。可以根据中序来确定

栗子1：
已知前序ABCDEF，中序CBAEDF，还原此二叉树，并推出中序遍历的结果
（1）首先确定根节点是A，根据前序的第一个元素。
（2）由中序可知，A的左边是CB，右边是EDF
　　　　　　A
　　　　　/　　\
　　　　B　　　　D
　　　/　　　　  /　  \
　　C　　　　  E　　　 F
可推出后序：CBEFDA

栗子2：
已知中序ABCDEFG，后序BDCAFGE，还原此二叉树，并推出中序遍历的结果

（1）首先确定根节点是E，根据后序的最后一个元素。
  （2）由中序可知，E的左边是ABCD，右边是FG

　　初步判断：

　　　　　　　　　E　
　　　　　　　　/　　\
　　　　　　　ABCD　　FG
　　再次判断：
　　　　　　　　　　E
　　　　　　　　　/　   \
　　　　　　　　A　　　  G
　　　　　　　　 \　　　  /
　　　　　　　　　C　　 F
　　　　　　　　/　　\
　　　　　　　B　　　D

可推出前序：EACBDGF

栗子3：某二叉树的先根遍历序列和后根遍历序列正好相反，则该二叉树具有的特征是(A)　　　

　　　　A.高度等于其结点数

　　　　B.任一结点无左孩子

　　　　C.任一结点无右孩子

　　　　D.空或只有一个结点

解释：

　　可以是全部都是左孩子，也可以是全部都是右孩子，所以在一起就合称高度等于其结点数

　　　　　　  A　　　　　　　　　　A

　　　　　  /　　　　　　　　　　　　　\

　　　　  B　　　　　　　　　　　　　　　B

　　　  /　　　　　　　　　　　　　　　　　　\

　　  C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C

　　/　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\

　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D

先根遍历是：A-B-C-D　　　　　　　　　　先根遍历是：A-B-C-D

后根遍历是：D-C-B-A　　　　　　　　　　后根遍历是：D-C-B-A

4.哈夫曼树
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。
（1）什么叫带权路径长度？
从该结点到树根之间路径长度与结点上的权的乘积
下面用一幅图来说明。
　　

　　它们的带权路径长度分别为：

　　图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

　　图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

　　可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)

　　（2）如何构建哈夫曼树？

　　　　一般可以按下面步骤构建：

　　　　（1）将所有左，右子树都为空的作为根节点。

　　　　（2）在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。

　　　　（3）从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

　　　　（4）重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。

　　　　下面是构建哈夫曼树的图解过程：

　　（3）哈夫曼编码

　　　　利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。

　　　　树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。

　　　　就拿上图例子来说：

　　　　A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0

　　　　用图说明如下：

　　　　
注意：若有编码00，则至少必须有编码01，否则只一个结点构成不了双亲，也就是说，不是二叉树了。
如：00,100，101,110,111不可能是哈夫曼编码
　　
记住，设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。
栗子1：
用二进制来编码字符串"abcdabaa"，需要能够根据编码，解码回原来的字符串，最少需要多长的二进制字符串？
解析：哈夫曼编码问题。求二进制字符串长度其实就是求带权最短路径长度。
　　　可以先构造哈夫曼树，字符串中，a有4个，b有2个，c有1个，d有1个，这些个数就是权值，先选最小的两个权值，c和d，

　　如图：

　　

所以字符串总长度：4*1+2*2+1*3+1*3=14

栗子2：

已知一段文本有1382个字符，使用了1382个字节进行存储，这段文本全部是由a、b、c、d、e这5个字符组成，a出现了354次，b出现了483次，c出现了227次，d出现了96次，e出现了232次，对这5个字符使用哈夫曼（Huffman）算法进行编码，则以下哪些说法正确（）ACD

　　A.使用哈夫曼算法编码后，用编码值来存储这段文本将花费最少的存储空间

　　B.使用哈夫曼算法进行编码，a、b、c、d、e这5个字符对应的编码值是唯一确定的

　　C.使用哈夫曼算法进行编码，a、b、c、d、e这5个字符对应的编码值可以有多套，但每个字符编码的位（bit）数是确定的

　　D.b这个字符的哈夫曼编码值位数应该最短，d这个字符的哈夫曼编码值位数应该最长

解释：

　　A正确，Huffman树就是求最优解。可以有多套方案，但最终每套方案生成的编码长度都相同且都是最优解。

　　B错误，我们可以将左子树定为1右子树定为0也可以反之，不同的方案获得的编码值是不同的，但每个字符的编码长度是固定的。

　　C正确，不同的方案影响的只是通向节点的路径为0还是1，而不会影响Huffman树的层次结构

　　D正确，生成了Huffman树之后，我们就能看到，出现频率越高的节点越靠近根，深度越小即编码值尾数越短；出现频率越低的节点越远离根，深度越大即编码位数越长。

栗子3：

一棵哈夫曼树共有215个结点,对其进行哈夫曼编码,共能得到(108)个不同的码字

解释:

　　这个题目其实就是求有多少个叶子结点，就是度数为0的结点，因为哈夫曼树是二叉树，而且哈夫曼树中一定没有度数为1的结点。

　　由n=n₀+n₂，和n₀=n₂+1，可以得到n₂=107，所以n₀=108

栗子4：给字母重新进行二进制编码,以使得"MT-TECH-TEAM"(包含连字符,不包含引号)的长度最小.并能够根据编码,解码回原来的字符串.请问最优编码情况下该字串的长度是多少bit?

解释：哈夫曼编码，统计每个单词出现的次数，进行排序，每次合并最小的两个，把合并的值带入，删除原来的两个值后，继续排序，直到最后只剩下一棵树

M:2　　H:1

T:3　　A:1

E:2　　-:2

C:1

参考文档：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_70600f720100ujnp.html
http://www.cnblogs.com/mcgrady/p/3329825.html