[bzoj1001][BJOI2006]狼抓兔子——最大流转最短路，平面图

题目描述：

给定一个平面图，求最小割。

题解：

本题是一道经典题.

周冬Orz的论文是很好的研究资料。

这道题点太多，所以直接跑dinic无疑会超时。

我们观察原图，发现原图是一个平面图。

什么是平面图呢？平面图就是可以画在平面上，边没有交错的图。

平面图有几个很吼的性质：

1. 欧拉定理（欧拉的定理真多。。):如果平面图把平面分为f个面，有n个点，m条边，那么我们有：

\[f = m - n + 2
\]

1. 任何一个平面图的对偶图还是一个平面图。

这里的对偶图指的是把原图中的面当作点，边还是边进行构图得到的图。

我们很容易发现，对偶图中的一个环就是原图的一个最小割。

但是，显然我们求环还是比较麻烦的。

我们考察原图性质，

如果在st中间连一条新边，显然新图还是平面图，同时会比原图多出一个面，我们称之为副面，

对于这个新图，我们构对偶图，同时令副面和最大的面一个为起点，一个为终点，显然对偶图中的最短路就是原图的一个最小割。

然后spfa解决就好辣。

本题最恶心的点在于建对偶图。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = (1000 * 1000 + 50) * 2;
int n, m, nm, s, t;
int dist[maxn];
struct edge {
  int to, weigh;
};
vector<edge> G[maxn];
void add_edge(int from, int to, int weigh) {
  G[from].push_back((edge){to, weigh});
  G[to].push_back((edge){from, weigh});
}
void spfa() {
  queue<int> q;
  memset(dist, 127, sizeof(dist));
  dist[s] = 0;
  q.push(s);
  int inq[maxn];
  memset(inq, 0, sizeof(inq));
  inq[s] = 1;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    inq[u] = 0;
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
      edge &e = G[u][i];
      if (dist[e.to] > dist[u] + e.weigh) {
        dist[e.to] = dist[u] + e.weigh;
        if (inq[e.to] == 0) {
          q.push(e.to);
          inq[e.to] = 1;
        }
      }
    }
  }
}
int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  nm = (n * m - m - n + 1) << 1;
  s = 0, t = nm + 1;
  //横向边
  int x;
  for (int j = 1; j < m; j++) {
    scanf("%d", &x);
    add_edge(j, t, x);
  }
  for (int i = 1; i < (n - 1); i++) {
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      scanf("%d", &x);
      add_edge((i << 1) * (m - 1) + j, ((i << 1) - 1) * (m - 1) + j, x);
    }
  }
  for (int j = 1; j < m; j++) {
    scanf("%d", &x);
    add_edge(((n << 1) - 3) * (m - 1) + j, 0, x);
  }
  //纵向边
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      scanf("%d", &x);
      if (j == 1)
        add_edge(0, (i << 1) * (m - 1) + m, x);
      else if (j == m)
        add_edge((i << 1 | 1) * (m - 1), t, x);
      else
        add_edge((i << 1) * (m - 1) + j - 1, (i << 1) * (m - 1) + j + m - 1, x);
    }
  }
  //斜
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      scanf("%d", &x);
      add_edge((i << 1 | 1) * (m - 1) + j, (i << 1) * (m - 1) + j, x);
    }
  }
  spfa();
  printf("%d", dist[t]);
}