【动态规划】cf1034C. Region Separation

质因数分解套路的复杂度分析的动态规划

题目大意

有一颗$n$个节点有点权的树，初始整棵树为$1$号区域，要求满足下列规则：

• 除非$i$是最后一个等级，否则每一个$i$级区域都要被分成至少两个$i+1$级区域
• 对于每种等级，每个点必须恰好属于一个区域
• 一个区域的点集必须是连通的
• 对于相同等级，每个区域必须拥有相同的点权和

问有多少种合法的划分方案，$n \le 10^6,a_i \le 10^9$.

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题目分析

首先考虑判断把树分为$k$个2级区域的合法性$f_k$，记点权和为$tot$。

一种朴素的想法就是对于每一个$k$，自底向上遍历整棵树，若剩余子树大小恰好为$tot\over k$，就割去这颗子树；如果整棵树能够被处理完，$k$就是合法的。每次判定复杂度为$O(n)$.

注意到这个想法里，每次割去子树的大小$s_i$恰好是$tot\over k$的倍数；并且不难发现，$k$合法的充要条件就是恰有$k$个$s_i≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$。简短解释一下：对于一颗$s_i≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$的子树，由于它的所有子树都奉行割去$s_j≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})$的原则，那么剩下的包括点$i$的连通块就是$i$子树内最小的$\ge {tot\over k}$的连通块。因此，$\sum [s_k≡0(\text{mod }\frac{tot}{k})] \le k$；并且当且仅当$=k$时合法。

有了这个性质，考虑如何统计$f_k$。容易发现对于合法的$k$，$\frac{tot}{k}$的任意约数$k'$都是合法的。而对于子树$s_i$，其最小有贡献的$k=\frac{tot}{\text{gcd}(s_i,tot)}$。所以这里只需要对每个$s_i$存下最小的合法$k$，再以质因数分解题的套路处理一遍就能算出$[f_k=k]$了。因此处理$f_k$的复杂度是$O(n\ln n)$。

接下去考虑dp计算把整棵树分为若干个$i$级区域的方案数$g_i$。