剑指offer青蛙跳台阶问题

（1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

//递归方式 

public static int f(int n) { 
                //参数合法性验证 
                if (n < 1) { 
                        System.out.println("参数必须大于1！"); 
                        System.exit(-1); 
                } 
                if (n == 1 || n == 2) return 1; 
                else return f(n - 1) + f(n - 2); 
        } 

//非递归方式 

public static int fx(int n) { 
			//参数合法性验证 
			if (n < 1) { 
					System.out.println("参数必须大于1！"); 
					System.exit(-1); 
			} 
			//n为1或2时候直接返回值 
			if (n< 2) return 1; 
			//n>2时候循环求值 
			int res = 0; 
			int a = 1; 
			int b = 1; 
			for (int i = 2; i <= n; i++) { 
					res = a + b; 
					a = b; 
					b = res; 
			} 
			return res; 
	} 

（2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后, 后面还有                Fib(n-n)中跳法.

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

      两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)         =====》  Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 2

递归等式如下：

 

     

 if(number<2)return 1;
        //n>2时候循环求值
        int res = 0;
        int a = 1;
        for (int i = 2; i <= number; i++) {
            res = 2*a;
            a= res;
        }
        return res; 

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