P3994 高速公路树形DP+斜率优化+二分

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

C国拥有一张四通八达的高速公路网树，其中有n个城市，城市之间由一共n-1条高速公路连接。除了首都1号城市，每个城市都有一家本地的客运公司，可以发车前往全国各地，有若干条高速公路连向其他城市，这是一个树型结构，1号城市（首都）为根。假设有一个人要从i号城市坐车出发前往j号城市，那么他要花费Pi*（i城市到j城市的距离）+Qi元。由于距离首都越远，国家的监管就越松，所以距离首都越远，客运公司的Pi（单位距离价格）越大，形式化的说，如果把高速路网看成一棵以首都为根的有根树，i号城市是j号城市的某个祖先，那么一定存在Pi<=Pj。

大宁成为了国家统计局的调查人员，他需要对现在的高速路网进行一次调查，了解从其他每一个城市到达首都1号城市所花费的金钱(路径必须是简单路径)。

因为有非常多转车（或不转车）的抵达首都的方法，所以人工计算这个结果是十分复杂的。大宁非常的懒，所以请你编写一个程序解决它。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第 1 行包含1个非负整数 n,表示城市的个数。

第 2 到 n 行，每行描述一个除首都之外的城市。其中第 i 行包含4 个非负整数 Fi,Si,Pi,Qi，分别表示 i号城市的父亲城市，它到父亲城市高速公路的长度，以及乘车价格的两个参数。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。

其中第 i 行表示从 i+1号城市出发，到达首都最少的乘车费用。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

对于前40%的数据1<=n<=1000。

对于另外20%的数据满足从第i（i≠1）个城市出发的高速公路连向第i-1个城市。

对于所有的数据1<=n<=1000000，0<=Pi，Qi<=2^{31-1，保证结果不会大于2}63-1。

$\color{#0066ff}{题解}$

不难想到DP，设$f[i]$为从i到根的答案，转移也很好想

$f[i] =min(f[i],f[j]+(dis[i])-dis[j])*p[i]+q[i])$

但是这样转移是$O(n^2)$的，显然过不了啊

我们考虑斜率优化

如果x比y优秀，即$f[x]+(dis[i]-dis[x])p[i]+q[i]<f[y]+(dis[i]-dis[y])p[i]+q[i]$

化简之后是$p[i]<\frac{f[x]-f[y]}{dis[x]-dis[y]}$

这样就能斜率优化了，用单调队列维护一个下凸包

但是，这是优化的树形DP啊，在一棵子树内的决策会影响到另一棵子树！

我们考虑每次转移单调队列的变化，看能不能搞点什么

可以发现，每次head仅仅是移动，其中元素是不变的（祖先链不变）

tail呢？每次移动后只会修改一个值！

所以我们可以记录一下每个点的head和tail，还有修改的元素位置和编号，这样就可以快速回溯

但是这样每个点会入队多次，上界依然是$O(n^2)$

又因为元素是不变的，所以，我们考虑二分来优化这个过程，每次二分两次，找到转移点和修改点即可

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int maxn = 1e6 + 100;

LL dep[maxn], f[maxn];

LL p[maxn], q[maxn];

int st[maxn], head, tail;

int n;

struct node {

	int to, dis;

	node *nxt;

	node(int to = 0, int dis = 0, node *nxt = NULL): to(to), dis(dis), nxt(nxt) {}

}*h[maxn];

void add(int from, int to, int dis) { h[from] = new node(to, dis, h[from]); }

void dfs(int x) { for(node *i = h[x]; i; i = i->nxt) dep[i->to] = dep[x] + i->dis, dfs(i->to); }

double K(int x, int y) { return (double)(f[x] - f[y]) / (double)(dep[x] - dep[y]); }

void work(int x) {

	int nowhead = head, nowtail = tail;

	int l = head, r = tail - 1, ans = -1;

	while(l <= r) {

		int mid = (l + r) >> 1;

		if(p[x] <= K(st[mid], st[mid + 1])) ans = mid, r = mid - 1;

		else l = mid + 1;

	}

	if(~ans) head = ans;

	else head = tail;

	f[x] = f[st[head]] + (dep[x] - dep[st[head]]) * p[x] + q[x];

	l = head, r = tail - 1, ans = -1;

	while(l <= r) {

		int mid = (l + r) >> 1;

		if(K(st[mid], st[mid + 1]) < K(st[mid + 1], x)) ans = mid, l = mid + 1;

		else r = mid - 1;

	}

	if(~ans) tail = ans + 1;

	else tail = head;

	int now = st[++tail];

	st[tail] = x;

	for(node *i = h[x]; i; i = i->nxt) work(i->to);

	head = nowhead, st[tail] = now, tail = nowtail;

}

int main() {

	n = in();

	int x, y;

	for(int i = 2; i <= n; i++) {

		x = in(), y = in();

		add(x, i, y);

		p[i] = in(), q[i] = in();

	}

	dfs(1);

	for(node *i = h[1]; i; i = i->nxt) st[head = tail = 1] = 1, work(i->to);

	for(int i = 2; i <= n; i++) printf("%lld\n", f[i]);

	return 0;

}