KD-Tree，用来解决多维空间中的问题，其实就是优化暴力（逃

一般cdq能做的它都能做，而且。。。既然是优化暴力，那就学习一下了

对与几个n维点，我们将它每一维分割，建立一颗二叉树，方便我们搜索剪枝

它好像插入比较麻烦，和替罪羊一样暴力重构，博主蒟蒻不会啦

KD-Tree能解决的问题：平面上点对最小，最大距离，k大距离（包括曼哈顿距离和欧式距离）

当然这是我的理解，可能会有偏差

KD-Tree基本模板：

  1. struct node{
  2. 	int d[2],l,r,mx[2],mn[2],id;
  3. 	friend bool operator < (node a,node b){
  4. 		return a.d[now]<b.d[now];
  5. 	}
  6. }ask,tr[MAXN];
  7. struct KD_TREE{
  8. 	void update(int x){
  9. 		int l=tr[x].l,r=tr[x].r;
  10. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  11. 			tr[x].mn[i]=tr[x].mx[i]=tr[x].d[i];
  12. 			if(l!=0){
  13. 				tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[l].mn[i]);
  14. 				tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[l].mx[i]);
  15. 			}
  16. 			if(r!=0){
  17. 				tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[r].mn[i]);
  18. 				tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[r].mx[i]);
  19. 			}
  20. 		}
  21. 	}
  22. 	int dis(node a,node b){
  23. 		int res=0;
  24. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  25. 			res+=power(a.d[i]-b.d[i]);
  26. 		}
  27. 		return res;
  28. 	}
  29. 	int get_dis(node a){
  30. 		int res=0;
  31. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  32. 			res+=max(power(a.mx[i]-ask.d[i]),power(a.mn[i]-ask.d[i]));
  33. 		}
  34. 		return res;
  35. 	}
  36. 	void build(int &rt,int l,int r,int d){
  37. 		int mid=(l+r)>>1;
  38. 		now=d;
  39. 		nth_element(tr+l,tr+mid,tr+r+1);
  40. 		if(l<mid) build(tr[mid].l,l,mid-1,d^1);
  41. 		if(r>mid) build(tr[mid].r,mid+1,r,d^1);
  42. 		update(mid);
  43. 		rt=mid;
  44. 	}
  45. 	void query(int x){
  46. 		if(!x) return ;
  47. 		int sum_l=inf,sum_r=inf,dist=dis(tr[x],ask);
  48. 		if(tr[x].l) sum_l=get_dis(tr[tr[x].l]);
  49. 		if(tr[x].r) sum_r=get_dis(tr[tr[x].r]);
  50. 		if(dist>-q.top()){
  51. 			q.pop();
  52. 			q.push(-dist);
  53. 		}
  54. 		if(sum_l>sum_r){
  55. 			if(sum_l>=-q.top()) query(tr[x].l);
  56. 			if(sum_r>=-q.top()) query(tr[x].r);
  57. 		}else{
  58. 			if(sum_r>=-q.top()) query(tr[x].r);
  59. 			if(sum_l>=-q.top()) query(tr[x].l);
  60. 		}
  61. 	}
  62. }KD_Tree;

其中dis和get_dis是随题而定，其他的基本不变

例题：Hide and Seek

题目大意：给出平面内几个点的坐标，求曼哈顿距离最小值

挺水的，上代码：

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. #define MAXN 500005
  7. #define inf 0x7fffffff
  8. using namespace std;
  9. int read(){
  10. 	int x=0;char ch=getchar();
  11. 	while(ch<'0'||ch>'9'){ch=getchar();}
  12. 	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  13. 	return x;
  14. }
  15. int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
  16. int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
  17. int abs(int a){return a<0?-a:a;}
  18. int n,now,root,ans=inf;
  19. struct node{
  20. 	int d[2],l,r,mx[2],mn[2];
  21. 	friend bool operator < (node a,node b){
  22. 		return a.d[now]<b.d[now];
  23. 	}
  24. 	friend int dis(node a,node b){
  25. 		return abs(a.d[0]-b.d[0])+abs(a.d[1]-b.d[1]);
  26. 	}
  27. }tr[MAXN];
  28. struct KD_TREE{
  29. 	node p[MAXN],t;
  30. 	int ans;
  31. 	private:
  32. 		void update(int x){
  33. 			int l=p[x].l,r=p[x].r;
  34. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  35. 				if(l!=0){
  36. 					p[x].mn[i]=min(p[x].mn[i],p[l].mn[i]);
  37. 					p[x].mx[i]=max(p[x].mx[i],p[l].mx[i]);
  38. 				}
  39. 				if(r!=0){
  40. 					p[x].mn[i]=min(p[x].mn[i],p[r].mn[i]);
  41. 					p[x].mx[i]=max(p[x].mx[i],p[r].mx[i]);
  42. 				}
  43. 			}
  44. 		}
  45. 		int get_min(node x){
  46. 			int sum=0;
  47. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  48. 				sum+=max(x.mn[i]-t.d[i],0);
  49.             	sum+=max(t.d[i]-x.mx[i],0);
  50. 			}
  51. 			return sum;
  52. 		}
  53. 		int get_max(node x){
  54. 			int sum=0;
  55. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  56. 				sum+=max(abs(x.mn[i]-t.d[i]),abs(x.mx[i]-t.d[i]));
  57. 			}
  58. 			return sum;
  59. 		}
  60. 	public:
  61. 		void build(int &rt,int l,int r,int d){
  62. 			int mid=l+r>>1;
  63. 			now=d;
  64. 			nth_element(tr+l,tr+mid,tr+r+1);
  65. 			p[mid]=tr[mid];
  66. 			for(int i=0;i<=1;i++)
  67.             	p[mid].mx[i]=p[mid].mn[i]=p[mid].d[i];
  68. 			if(l<mid) build(p[mid].l,l,mid-1,d^1);
  69. 			if(r>mid) build(p[mid].r,mid+1,r,d^1);
  70. 			update(mid);
  71. 			rt=mid;
  72. 		}
  73. 		void query_min(int k){
  74. 			int dist=dis(p[k],t);
  75. 			if(dist) ans=min(ans,dist);
  76. 			int sum_l=inf,sum_r=inf;
  77. 			if(p[k].l) sum_l=get_min(p[p[k].l]);
  78. 			if(p[k].r) sum_r=get_min(p[p[k].r]);
  79. 			if(sum_l>sum_r){
  80. 				if(sum_r<ans) query_min(p[k].r);
  81. 				if(sum_l<ans) query_min(p[k].l);
  82. 			}else{
  83. 				if(sum_l<ans) query_min(p[k].l);
  84. 				if(sum_r<ans) query_min(p[k].r);
  85. 			}
  86. 		}
  87. 		void query_max(int k){
  88. 			ans=max(ans,dis(p[k],t));
  89. 			int sum_l=-inf,sum_r=-inf;
  90. 			if(p[k].l) sum_l=get_max(p[p[k].l]);
  91. 			if(p[k].r) sum_r=get_max(p[p[k].r]);
  92. 			if(sum_l>sum_r){
  93. 				if(sum_l>ans) query_max(p[k].l);
  94. 				if(sum_r>ans) query_max(p[k].r);
  95. 			}else{
  96. 				if(sum_r>ans) query_max(p[k].r);
  97. 				if(sum_l>ans) query_max(p[k].l);
  98. 			}
  99. 		}
  100. }KD_Tree;
  101. int main(){
  102. 	n=read();
  103. 	for(int i=1;i<=n;i++){
  104. 		tr[i].d[0]=read();
  105. 		tr[i].d[1]=read();
  106. 	}
  107. 	KD_Tree.build(root,1,n,0);
  108. 	for(int i=1;i<=n;i++){
  109. 		KD_Tree.t=tr[i];
  110. 		KD_Tree.ans=inf;
  111. 		KD_Tree.query_min(root);
  112. 		int minn=KD_Tree.ans;
  113. 		KD_Tree.ans=-inf;
  114. 		KD_Tree.query_max(root);
  115. 		int maxx=KD_Tree.ans;
  116. 		ans=min(ans,maxx-minn);
  117. 	}
  118. 	printf("%d\n",ans);
  119. 	return 0;
  120. }

例题：JZPFAR：

题目大意：给定平面上n个点坐标以及m次询问，每一次输出欧式距离距目标点第k大的点的标号

跟上一个差不多，估价函数变了，

第k大的话，维护一个有k个元素的堆，每次有更优的就pop队顶，最终top就是答案

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. #include<queue>
  7. #define MAXN 500005
  8. #define inf 0x7fffffff
  9. #define int long long
  10. using namespace std;
  11. int read(){
  12. 	int x=0,f=1;char ch=getchar();
  13. 	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  14. 	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  15. 	return x*f;
  16. }
  17. int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
  18. int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
  19. int abs(int a){return a<0?-a:a;}
  20. int power(int a){return a*a;}
  21. int n,m,now,root,k;
  22. struct data{
  23. 	int dis,id;
  24. 	friend bool operator < (data a,data b){
  25. 		return a.dis==b.dis?a.id<a.id:a.dis>b.dis;
  26. 	}
  27. };
  28. priority_queue< data > q;
  29. struct node{
  30. 	int d[2],l,r,mx[2],mn[2],id;
  31. 	friend bool operator < (node a,node b){
  32. 		return a.d[now]<b.d[now];
  33. 	}
  34. }ask,tr[MAXN],p[MAXN];
  35. struct KD_TREE{
  36. 	private:
  37. 		void update(int x){
  38. 			int l=tr[x].l,r=tr[x].r;
  39. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  40. 				tr[x].mn[i]=tr[x].mx[i]=tr[x].d[i];
  41. 				if(l!=0){
  42. 					tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[l].mn[i]);
  43. 					tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[l].mx[i]);
  44. 				}
  45. 				if(r!=0){
  46. 					tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[r].mn[i]);
  47. 					tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[r].mx[i]);
  48. 				}
  49. 			}
  50. 		}
  51. 		int dis(node a,node b){
  52. 			int res=0;
  53. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  54. 				res+=power(a.d[i]-b.d[i]);
  55. 			}
  56. 			return res;
  57. 		}
  58. 		int calc(int x){
  59. 			if(x==0) return -2;
  60. 			int res=0;
  61. 			for(int i=0;i<=1;i++){
  62. 				res+=max(power(tr[x].mx[i]-ask.d[i]),power(tr[x].mn[i]-ask.d[i]));
  63. 			}
  64. 			return res;
  65. 		}
  66. 	public:
  67. 		void build(int &rt,int l,int r,int d){
  68. 			int mid=(l+r)>>1;
  69. 			now=d;
  70. 			nth_element(p+l,p+mid,p+r+1);
  71. 			tr[mid]=p[mid];
  72. 			if(l<mid) build(tr[mid].l,l,mid-1,d^1);
  73. 			if(r>mid) build(tr[mid].r,mid+1,r,d^1);
  74. 			update(mid);
  75. 			rt=mid;
  76. 		}
  77. 		void query(int x){
  78. 			//cout<<x<<endl;
  79. 			if(!x) return ;
  80. 			int sum_l=calc(tr[x].l),sum_r=calc(tr[x].r),dist=dis(tr[x],ask);
  81. 			//cout<<sum_l<<' '<<sum_r<<' '<<dist<<endl;
  82. 			if(dist>q.top().dis||(dist==q.top().dis&&tr[x].id<q.top().id)){
  83. 				q.pop();
  84. 				//cout<<dist<<' '<<tr[x].id<<endl;
  85. 				q.push((data){dist,tr[x].id});
  86. 			}
  87. 			if(sum_l>sum_r){
  88. 				if(sum_l>=q.top().dis) query(tr[x].l);
  89. 				if(sum_r>=q.top().dis) query(tr[x].r);
  90. 			}else{
  91. 				if(sum_r>=q.top().dis) query(tr[x].r);
  92. 				if(sum_l>=q.top().dis) query(tr[x].l);
  93. 			}
  94. 		}
  95. }KD_Tree;
  96. signed main(){
  97. 	n=read();
  98. 	for(int i=1;i<=n;i++){
  99. 		p[i].d[0]=read();
  100. 		p[i].d[1]=read();
  101. 		p[i].id=i;
  102. 	}
  103. 	KD_Tree.build(root,1,n,0);
  104. 	//cout<<root<<endl;
  105. 	m=read();
  106. 	for(int i=1;i<=m;i++){
  107. 		ask.d[0]=read();
  108. 		ask.d[1]=read();
  109. 		k=read();
  110. 		while(!q.empty()) q.pop();
  111. 		for(int i=1;i<=k;i++)
  112. 			q.push((data){-1,0});
  113. 		//	q.push(make_pair(-1,0));
  114. 		KD_Tree.query(root);
  115. 		//cout<<q.top().first<<endl;
  116. 		printf("%lld\n",q.top().id);
  117. 	}
  118. 	return 0;
  119. }

进阶：K远点对

题目大意：已知平面内 N 个点的坐标，求欧氏距离下的第 K 远点对。

和上一个一样，只不过这一次我们要对每个点query一遍，

其中维护一个2k的堆（因为会重复算），最终堆顶就是答案

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. #include<queue>
  7. #define MAXN 100005
  8. #define inf 0x7fffffff
  9. #define int long long
  10. using namespace std;
  11. int read(){
  12. 	int x=0,f=1;char ch=getchar();
  13. 	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  14. 	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  15. 	return x*f;
  16. }
  17. int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
  18. int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
  19. int abs(int a){return a<0?-a:a;}
  20. int power(int a){return a*a;}
  21. int n,m,now,root,k;
  22. struct data{
  23. 	int dis;
  24. 	friend bool operator < (data a,data b){
  25. 		return a.dis<b.dis;
  26. 	}
  27. };
  28. priority_queue<int> q;
  29. struct node{
  30. 	int d[2],l,r,mx[2],mn[2],id;
  31. 	friend bool operator < (node a,node b){
  32. 		return a.d[now]<b.d[now];
  33. 	}
  34. }ask,tr[MAXN];
  35. struct KD_TREE{
  36. 	void update(int x){
  37. 		int l=tr[x].l,r=tr[x].r;
  38. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  39. 			tr[x].mn[i]=tr[x].mx[i]=tr[x].d[i];
  40. 			if(l!=0){
  41. 				tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[l].mn[i]);
  42. 				tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[l].mx[i]);
  43. 			}
  44. 			if(r!=0){
  45. 				tr[x].mn[i]=min(tr[x].mn[i],tr[r].mn[i]);
  46. 				tr[x].mx[i]=max(tr[x].mx[i],tr[r].mx[i]);
  47. 			}
  48. 		}
  49. 	}
  50. 	int dis(node a,node b){
  51. 		int res=0;
  52. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  53. 			res+=power(a.d[i]-b.d[i]);
  54. 		}
  55. 		return res;
  56. 	}
  57. 	int get_dis(node a){
  58. 		int res=0;
  59. 		for(int i=0;i<=1;i++){
  60. 			res+=max(power(a.mx[i]-ask.d[i]),power(a.mn[i]-ask.d[i]));
  61. 		}
  62. 		return res;
  63. 	}
  64. 	void build(int &rt,int l,int r,int d){
  65. 		int mid=(l+r)>>1;
  66. 		now=d;
  67. 		nth_element(tr+l,tr+mid,tr+r+1);
  68. 		if(l<mid) build(tr[mid].l,l,mid-1,d^1);
  69. 		if(r>mid) build(tr[mid].r,mid+1,r,d^1);
  70. 		update(mid);
  71. 		rt=mid;
  72. 	}
  73. 	void query(int x){
  74. 		if(!x) return ;
  75. 		int sum_l=inf,sum_r=inf,dist=dis(tr[x],ask);
  76. 		if(tr[x].l) sum_l=get_dis(tr[tr[x].l]);
  77. 		if(tr[x].r) sum_r=get_dis(tr[tr[x].r]);
  78. 		if(dist>-q.top()){
  79. 			q.pop();
  80. 			q.push(-dist);
  81. 		}
  82. 		if(sum_l>sum_r){
  83. 			if(sum_l>=-q.top()) query(tr[x].l);
  84. 			if(sum_r>=-q.top()) query(tr[x].r);
  85. 		}else{
  86. 			if(sum_r>=-q.top()) query(tr[x].r);
  87. 			if(sum_l>=-q.top()) query(tr[x].l);
  88. 		}
  89. 	}
  90. }KD_Tree;
  91. signed main(){
  92. 	n=read(),k=read();
  93. 	for(int i=1;i<=n;i++){
  94. 		tr[i].d[0]=read();
  95. 		tr[i].d[1]=read();
  96. 		tr[i].id=i;
  97. 	}
  98. 	KD_Tree.build(root,1,n,0);
  99. 	for(int i=1;i<=2*k;i++) q.push(inf);
  100. 	for(int i=1;i<=n;i++){
  101. 		ask=tr[i];
  102. 		KD_Tree.query(root);
  103. 	}
  104. 	printf("%lld\n",-q.top());
  105. 	return 0;
  106. }

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