@noi.ac - 490@ game

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@description@

小 Q 和小 T 正在玩一种双人游戏。m 张木牌从左往右排成一排，第 i 张木牌上写着一个正整数 bi。小 Q 和小 T 轮流行动总计 m 轮，小 Q 先手。在每一轮中，行动方需要选择最左或者最右的一张木牌并将其拿走。游戏最后每个人的得分即为他拿走的木牌上写着的数字之和，得分较大的一方胜利。小 Q 和小 T 都是博弈老手，他们一定会按照最优策略去行动，即都希望自己的得分比对方的得分尽可能地高。

给定 n 张木牌上的数字 a1,a2,…,an，这些木牌从左往右排成一排。小 Q 和小 T 将会依次进行 q 局独立的游戏。在第 i 局游戏开始前，他们会选定两个正整数li,ri(1≤li≤ri≤n)，然后将第 li 到第 ri 张木牌拿出来，在这 ri−li+1 张木牌上进行这一局游戏。每局游戏结束后，他们又会重新整理好这些木牌，把木牌按照 a1,a2,…,an 的样子恢复原状。

作为旁观者的你不免感到每局游戏有些漫长，于是你决定写一个程序来预测最终的游戏结果。

请写一个程序，对于每局游戏计算小 Q 先手且双方都采取最优策略的情况下，游戏结束时先手和后手的得分分别是多少。

input

第一行包含两个正整数 n,q，分别表示木牌的数量以及游戏的局数。

第二行包含 n 个正整数 a1,a2,…,an，依次表示每张木牌上写着的数字。

接下来 q 行，每行两个正整数 li, ri，依次描述每局游戏。

output

对于每局游戏，输出一行两个整数，即该局游戏结束时先手和后手的得分。

sample input

5 4

7 9 3 5 2

1 5

3 5

2 4

1 2

sample output

12 14

5 5

12 5

9 7

对于100%的数据，1≤li≤ri≤n≤100000，所有 ai 都在 [1,10^9] 中随机产生，q≤200000。

@solution@

这道题最简单的解法就是 O(n^2) 的区间 dp，但显然。。。

首先我们可以将问题转换为先手分数减后手分数的最大值，又可以知道先手分数与后手分数的和（区间总和），分别解出先手分数与后手分数。

然后，嗯其实它是一道结论题。

（1）如果遇到相邻的三个数 A, B, C，满足 A <= B 且 B >= C（形成山峰状）时，可以将它合成一个数 A + C - B。

为什么？题解里大致写了会儿，但我没懂其中的逻辑。我大致BB一下：

假如此时 Q 先手，Q 此时可以拿取 A 与最右端的某个数。如果 Q 此时分析得到拿取 A 比拿最右更有优势：

则 T 如果拿最右，说明最右更有优势，故 Q 一开始会拿最右。故 T 必须拿 B。

如果 Q 此时拿最右，则 Q 可以在第一时刻拿最右，如此操作就会比先拿 A 获得更大优势。

（以上全是感性证明）

（2）将原数列按照（1）中所做后，得到的新数列要么递增，要么递减，要么先递减后递增（形成山谷状）。

递增与递减是对称的，我们只需要考虑一种。可以归纳法验证先手总是先选取最大的是最优的方案。

山谷状时，两边总比中间高，故先手也总可以选取最大的数，一样归纳法验证。

故可以将新数列排序。

（3）因为数是随机生成的，所以新数列最多 O(log n) 个数（注定了这是一道神仙题）

题解里没说。我也不会证。但我会写代码验证：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
typedef long long ll;
const int MAXN = 1E6;
ll a[MAXN + 5]; int cnt = 0;
int main() {
	ll sum = 0;
	for(int T=1;T<=1000;T++) {
		srand(time(NULL)); cnt = 0;
		for(int i=1;i<=MAXN;i++) {
			a[++cnt] = rand();
			while( cnt >= 3 && a[cnt-2] <= a[cnt-1] && a[cnt-1] >= a[cnt] )
				a[cnt-2] = a[cnt] + a[cnt-2] - a[cnt-1], cnt = cnt - 2;
		}
		//printf("%d\n", cnt);
		sum += cnt;
	}
	printf("avg : %lf\n", 1.0*sum/1000);
}

实现上，可以使用分治，每次处理跨越 mid 的区间。没有跨越 mid 的区间分成左右两个子问题。

跨越 mid 的区间 [l, r] 拆成 [l, mid-1] 与 [mid, r]。预处理 [1...mid-1, mid-1] 的新数列，然后从 mid 开始向右扫描并维护。

如果遇到询问，就暴力合并。

所以这道题肯定是离线搞啊怎么可能在线。

@accepted code@

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 200000 + 5;
const int MAXQ = 200000 + 5;
struct query{
	int l, r, n;
	query(int _l=0, int _r=0, int _n=0):l(_l), r(_r), n(_n){}
}qry[MAXQ], tmp[MAXQ];
int l[MAXQ], r[MAXQ]; ll ans[MAXQ];
ll a[MAXN], s[MAXN];
vector<ll>vec[MAXN], tmp2, tmp3;
vector<query>Q[MAXN];
void insert(vector<ll>&v, ll x) {
	v.push_back(x);
	while( v.size() >= 3 && v[v.size()-2] >= v[v.size()-1] && v[v.size()-2] >= v[v.size()-3] ) {
		ll x = v[v.size()-1] + v[v.size()-3] - v[v.size()-2];
		v.pop_back(), v.pop_back(), v.pop_back(), v.push_back(x);
	}
}
void solve(int L, int R, int le, int ri) {
//	printf("%d %d %d %d\n", L, R, le, ri);
	if( L > R || le > ri ) return ;
	int mid = (L + R) >> 1, p = le, q = ri;
	for(int i=mid;i<=R;i++)
		Q[i].clear();
	for(int i=le;i<=ri;i++)
		if( qry[i].r < mid ) tmp[p++] = qry[i];
		else if( qry[i].l > mid ) tmp[q--] = qry[i];
		else Q[qry[i].r].push_back(qry[i]);
	vec[mid].clear();
	for(int i=mid-1;i>=L;i--)
		vec[i] = vec[i+1], insert(vec[i], a[i]);
	for(int i=L;i<mid;i++)
		reverse(vec[i].begin(), vec[i].end());
	tmp2.clear();
	for(int i=mid;i<=R;i++) {
		insert(tmp2, a[i]);
		for(int j=0;j<Q[i].size();j++) {
			tmp3 = vec[Q[i][j].l];
			for(int k=0;k<tmp2.size();k++)
				insert(tmp3, tmp2[k]);
			sort(tmp3.begin(), tmp3.end());
			for(int k=tmp3.size()-1,f=1;k>=0;k--,f*=-1)
				ans[Q[i][j].n] += tmp3[k]*f;
		}
	}
	for(int i=le;i<=ri;i++)
		qry[i] = tmp[i];
	solve(L, mid - 1, le, p - 1);
	solve(mid + 1, R, q + 1, ri);
}
int main() {
	int n, q; scanf("%d%d", &n, &q);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld", &a[i]);
		s[i] = s[i-1] + a[i];
	}
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
		qry[i] = query(l[i], r[i], i);
	}
	solve(1, n, 1, q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
		printf("%lld %lld\n", (s[r[i]]-s[l[i]-1]+ans[i])/2, (s[r[i]]-s[l[i]-1]-ans[i])/2);
}

@details@

康复计划 - 5。

推导一晚上，代码一小时。

神仙题与只给结论不带（详细）证明就跑的题解。