bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和——NTT+第二类斯特林数

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555

第二类斯特林数展开式：

\( S(i,j) = \frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_{j}^{k}(j-k)^{i} \)

大概是容斥枚举空的盒子个数。https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/8426987.html

在这道题里，先把 j 提到前面，再把组合数展开，推一推式子发现 j 之后的那部分是卷积的形式。就能 O( nlogn + n )了。

别把 >>1 写成 <<1 ！！！！！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+,M=(<<)+,mod=;
int n,len,r[M],a[M],b[M],ans,jcn[N];
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;x<?x+=mod:;}
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void ntt(int *a,bool fx)
{
  for(int i=;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=;R<=len;R<<=)
    {
      int Wn=pw( ,fx?(mod-)-(mod-)/R:(mod-)/R );
      for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)
    for(int j=,w=;j<m;j++,w=(ll)w*Wn%mod)
      {
        int x=a[i+j], y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;
        a[i+j]=x+y;  upd(a[i+j]);
        a[i+m+j]=x+mod-y;  upd(a[i+m+j]);
      }
    }
  if(!fx)return ; int inv=pw(len,mod-);
  for(int i=;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  jcn[]=;for(int i=;i<=n;i++)jcn[i]=(ll)jcn[i-]*i%mod;
  jcn[n]=pw(jcn[n],mod-); for(int i=n-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
  for(int i=,fx=;i<=n;i++,fx=-fx)
    {
      a[i]=fx*jcn[i]+mod;upd(a[i]);
    }
  for(int i=;i<=n;i++)
    {
      int k=-i;
      if(!k)
    {
      b[i]=(ll)(n+)*jcn[i]%mod;
    }
      else
    {
      int d=pw(i,n+);
      if(k<)k+=mod;  k=pw(k,mod-);
      b[i]=(ll)(+mod-d)*k%mod*jcn[i]%mod;
    }
    }
  for(len=;len<=n<<;len<<=);
  for(int i=;i<len;i++)r[i]=(r[i>>]>>)+((i&)?len>>:);//len>>1!! not <<1
  ntt(a,);  ntt(b,);
  for(int i=;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,);
  for(int i=,jc=,lj=;i<=n;i++,jc=(ll)jc*i%mod,lj<<=,upd(lj))
    ans=(ans+(ll)lj*jc%mod*a[i])%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return ;
}