[Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

莫比乌斯反演

老套路，先设n<m

我们注意到每个格子的贡献其实就是2 * gcd(x,y) - 1，所以我们要求的是

$2(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)) - n\cdot m$

其中最难蒜的就是中间那一坨

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}((bool)gcd(i,j)==d)$

我们设

$f(k)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)==k)$

我们先求一个更简单的，

$F(k)=\sum_{k|d}f(d)\;,\;F(k)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(k|gcd(i,j))=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor\lfloor \frac{m}{k}\rfloor$

那么根据莫比乌斯反演公式，

$f(k)=\sum_{k|d}^{n}F(d)\mu (\frac{d}{k})=\sum_{k|d}^{n}\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor\mu (\frac{d}{k})=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\mu(d) \lfloor \frac{n}{dk}\rfloor\lfloor \frac{m}{dk}\rfloor$

然后把f(k)代入前面的那一坨式子里

$\sum_{k=1}^{n}k\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor\lfloor \frac{m}{dk}\rfloor\mu (d)$

因为dk <= n，所以我们不妨就设T=dk ，枚举 T，然后枚举 T 的因数 k

$\sum_{T=1}^{n}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor\lfloor \frac{n}{T}\rfloor\sum_{k|T}k\cdot \mu(\frac{T}{k})$

仔细一看，后面的

$\sum_{k|T}k\cdot \mu(\frac{T}{k})$

大有文章。

这不就是莫比乌斯反演的后半段吗？我们解一解，设

$G(n)=n\;,\;g(n)=\phi (n)$ ，那么不就有这个关系

$n=\sum_{d|n}\phi (d)\Rightarrow G(n)=\sum_{d|n}g(d)$

反演过来，刚好是

$\sum_{d|n}n\cdot \mu(\frac{n}{d})=\phi (n)$

所以最终的答案就是

$2(\sum_{T=1}^{n}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor\lfloor \frac{n}{T}\rfloor\phi (T)) - n\cdot m$

用欧拉筛做一遍，然后枚举van事。

ＣＯＤＥ

之前欧拉筛里写了μ，懒得删了

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<vector>

#include<stack>

#include<queue>

#include<algorithm>

#include<map>

#include<cmath>

#include<iostream>

#define MAXN 100005

#define LL long long

#define rg register

#define lowbit(x) (-(x) & (x))

#define ENDL putchar('\n')

#pragma GCC optimize(2)

//#pragma G++ optimize(3)

//#define int LL

using namespace std;

inline int read() {

	int f = 1,x = 0;char s = getchar();

	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -1;s = getchar();}

	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 - '0' + s;s = getchar();}

	return x * f;

}

LL zxy;

LL n,m,i,j,k,s,o;

int p[MAXN],cnt;

int mu[MAXN];

LL phi[MAXN];

bool f[MAXN];

inline void sieve(int n) {

	mu[1] = 1;

	phi[1] = 1;

	for(rg int i = 2;i <= n;i ++) {

		if(!f[i]) {

			p[++ cnt] = i;

			mu[i] = -1;

			phi[i] = i-1;

		}

		for(rg int j = 1;j <= cnt && i * p[j] <= n;j ++) {

			f[i * p[j]] = 1;

			if(i % p[j] == 0) {

				mu[i * p[j]] = 0;

				phi[i * p[j]] = p[j] * phi[i];

				break;

			}

			else mu[i * p[j]] = -mu[i],phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];

		}

	}

	return ;

}

signed main() {

	sieve(100000);

	n = read();m = read();

	if(n > m) swap(n,m);

	LL ans = 0;

	for(int i = 1;i <= n;i ++) {

		ans += (n/i) *1ll* (m/i) * phi[i];

	}

	printf("%lld\n",2ll * ans - n * 1ll * m);

    return 0;

}