ZOJ 3777 B - Problem Arrangement 状压DP

LINK：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3777

题意：有N(\( N <= 12 \))道题,排顺序,当某道题选择了放在第j个位置时,会获得Pij的点数,但其他题目就不能选择j位置了。要求总获得的点数要大于M(\(1 <= M <= 500\)),问在所有方案中选择出合法方案的次数的期望值。

思路：题目要求的期望值,比较简单,就是总方案数和合法方案数的比值。看题目就知道是个DP,重点在于状态设计上。首先我们考虑到每个j位置只能被选择一次,也就意味着所有N门课所具有的状态是不同,而且某题选择位置后就不用再考虑它其他位置上的点数,即无后效性,这时很容易想到状压,二进制位对应当前状态下某个位置是否已被选择。

dp[s][j]代表s状态,不小于j点数的方案数。转移上,枚举旧状态,再枚举下一状态所有可行的选择方案(没被选择过的位置),旧状态到新状态。嘛,就是个背包。dp[s | (1<<k)][j] += dp[s][j - p[cnt][k]] 其中cnt表示前cnt题已进行过选择。

/** @Date    : 2017-03-27-15.47
  * @Author  : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com)
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version :
  */
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;
 
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;
 
LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b?gcd(b, a % b):a;
}
 
LL fac(int x)
{
    LL ans = 1;
    while(x)
    {
        ans *= x;
        x--;
    }
    return ans;
}
LL a[15][15];
LL dp[(1 << 12)+20][510];
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        LL n, k;
        cin >> n >> k;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                scanf("%lld", &a[i][j]);
            }
        }
        MMF(dp);
        dp[0][0] = 1;
        for(int s = 0; s < (1 << n); s++)//枚举旧状态
        {
            int cnt = 0;
            int t = s;
            while(t)
            {
                if(t & 1)
                    cnt++;
                t >>= 1;
            }
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                if((1 << i) & s) continue;
                for(int j = k; j >= 0; j--)
                {
                    if(j >= a[cnt][i])
                        dp[s | (1 << i)][j] += dp[s][j - a[cnt][i]];//
                }
            }
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++)
        {
            ans += dp[(1 << n) - 1][i];//求不符合要去的
        }
        //cout << ans << endl;
        LL x = fac(n);
        LL y = x - ans;
        LL g = 1;
        g = gcd(x, y);
        if(y == 0)
            printf("No solution\n");
        else printf("%lld/%lld\n", x/g, y/g);
    }
    return 0;
}