作者：i_dovelemon

来源：CSDN

日期：2015 / 7 / 11

主题：Interpolate,Bezier Curve

引言

在游戏开发中。诸如动画系统。路径计算等等操作，都会遇到对数值进行插值的问题。

从今天開始。将会陆陆续续的向大家介绍什么是插值技术？以及在计算机视频游戏开发中常常使用的插值技术有哪些。

插值技术（Interpolate Technology）。是通过数学计算的方式。将两个值之间的部分进行平滑过渡的一种技术方案。

这种技术能够在诸如动画系统等游戏内容中得到使用。就拿动画系统举例。如今的动画系统大都流行一种

url=-3Fh4jngiJPLBEr1rVZdeI4iDLYUNu8lcYID7S25flxFym68iLVfsMmikE8SwjqYEif3aSM6nKB7xwKdj63o-a">基于关键帧的动画。

美术人员在一些动画制作软件中。如flash。制作好动画的关键帧。然后就将该动画导出成一个文件。

这个文件里仅仅保存了每个动画的关键运动部分。

那么。当我们在游戏中使用的时候，就须要通过程序来补充每两个关键帧之间的帧状态数据。这种通过两个首尾值来构建中间部分值的技术就称之为插值技术。本文就会向大家展示当中一种常常使用的插值技术的数学技术。它的实际应用将在兴许章节向大家展示。



Bezier Curve

Bezier Curve，即为贝塞尔曲线。

它是一些曲线几何的总称。在本文中，将会向大家展示三种Bezier Curve。各自是Linear Bezier Curve, Quadratic Bezier Curve, Cubic Bezier Curv。

这三种Bezier Curve都是经经常使用到的曲线。而且各自是一次曲线。二次曲线和三次曲线。其它更高维度的曲线将不再讲述。关于Bezier Curve的具体解说。大家能够看下这篇Wiki：Bezier
Curve.


Linear Bezier Curve

一次Bezier Curve，被称为Linear Bezier Curve，它实际上指的就是一条直线。并没有不论什么的弯曲度。所以。使用一次Bezier Curve进行插值的技术。又被称为值Linear Interpolating(线性插值)。线性插值技术的应用十分广泛。除了在动画系统中使用到之外。在3D图形的光栅化阶段也用来对顶点数据和纹理数据进行插值计算。以下给出线性插值的公式：
B(t) = p0 + (p1 - p0) * t [0<=t <= 1]            (1)
上面公式中的t。表示了p0和p1之间某个时刻。而B(t)为此时曲线的状态。由于是直线，所以这个非常easy理解。



Quadratic Bezier Curve

二次曲线的公式是在一次曲线的基础上推导来的。数学推导部分相同能够到上面的wiki中找到。这里将直接给出公式：
B(t) = (1 - t) ^2 * p0 + 2 * (1 - t) * t * p1 + t^2 * p2      (2)


Cubic Bezier Curve

三次曲线的公式例如以下所看到的：
B(t) = (1 - t)^3 * p0 + 3 * (1 - t) ^2 * t * p1 + 3 * (1 - t ) * t^2 * p2 + t^3 * p3      (3)


绘制Bezier Curve

以下的代码演示了怎样绘制Linear Bezier，Quadratic Bezier以及Cubic Bezier。代码使用的是javascript来编写：
<span style="font-family:Microsoft YaHei;"><html>

	<script>

		var _2dContext = 0;

		/*Begin Solve Bezier Curve method*/

		function LinearBezierCurve(p0,p1,t)

		{

			return p0 + (p1 - p0) * t;

		}

		function QuadBezierCurve(p0,p1,p2,t)

		{

			var current = 0;

			var InvT = 1 - t;

			var InvT_2 = InvT * InvT;

			var T2 = t * t;

			current = InvT_2 * p0;

			current += 2 * InvT * t * p1;

			current += T2* p2;

			return current;

		}

		function CubicBezierCurve(p0,p1,p2,p3,t)

		{

			var current = 0;

			var InvT = 1 - t;

			var InvT_2 = InvT * InvT;

			var InvT_3 = InvT_2 * InvT;

			var T2 = t * t;

			var T3 = T2 * t;

			current += InvT_3 * p0;

			current += 3 * InvT_2 *t * p1;

			current += 3 * InvT * T2 * p2;

			current += T3 * p3;

			return current;

		}

		/*End Solve Bezier Curve*/

		//Draw a point in the cavans

		function DrawPoint(context,x,y,color)

		{

			context.beginPath();

			context.moveTo(x,y);

			context.lineTo(x + 1,y);

			context.closePath();

			context.strokeStyle = color;

			context.stroke();

		}

		/*Begin Draw Bezier Curve*/

		function DrawLinearBezierCurve(context,p0_x,p0_y,p1_x,p1_y,step,color)

		{

			var t = 0;

			for(;t<=1;t+=step)

			{

				//Calculate the new position

				var current_x = LinearBezierCurve(p0_x,p1_x,t);

				var current_y = LinearBezierCurve(p0_y,p1_y,t);

				//Draw the point

				DrawPoint(context,current_x,current_y,color);

			}

		}

		function DrawQuadBezierCurve(context, p0_x,p0_y,p1_x,p1_y,p2_x,p2_y,step,color)

		{

			var t = 0;

			for(;t<=1;t+=step)

			{

				//Calculate the new position

				var current_x = QuadBezierCurve(p0_x,p1_x,p2_x,t);

				var current_y = QuadBezierCurve(p0_y,p1_y,p2_y,t);

				//Draw the point

				DrawPoint(context,current_x,current_y,color);

			}

		}

		function DrawCubicBezierCurve(context,p0_x,p0_y,p1_x,p1_y,p2_x,p2_y,p3_x,p3_y,step,color)

		{

			var t = 0;

			for(;t<=1;t+=step)

			{

				//Calculate the new position

				var current_x = CubicBezierCurve(p0_x,p1_x,p2_x,p3_x,t);

				var current_y = CubicBezierCurve(p0_y,p1_y,p2_y,p3_y,t);

				//Draw the point

				DrawPoint(context,current_x,current_y,color);

			}

		}

		/*End Draw Bezier Curve*/

		function gameInit()

		{

			//Get the canvas context

			_2dContext = document.getElementById("canvas").getContext("2d");

			//enable game loop

			setInterval(gameLoop,100.0);

		}

		function gameLoop()

		{

			//Clear the canvas

			_2dContext.clearRect(0,0,1024,768);

			//Draw the linear bezier curve

			DrawLinearBezierCurve(_2dContext,100,100,1000,100,0.001,"rgb(255,0,0)");

			//Draw the Quadratic bezier curve

			var qp1_x = Math.random() * 1024;

			var qp1_y = Math.random() * 768;

			DrawQuadBezierCurve(_2dContext,100,400,qp1_x,qp1_y,1000,400,0.001,"rgb(0,255,0)");

			//Draw the Cubic bezier curve

			var cp1_x = Math.random() * 1024;

			var cp1_y = Math.random() * 768;

			var cp2_x = Math.random() * 1024;

			var cp2_y = Math.random() * 768;

			DrawCubicBezierCurve(_2dContext,100,600,cp1_x,cp1_y,cp2_x,cp2_y,1000,600,0.001,"rgb(0,0,255)");

		}

	</script>

	<body>

	<body onLoad="gameInit();">

		<canvas id="canvas" width="1024" height="768">

			您的浏览器不支持Canvas特性！！。请使用Chrome,Firefox!!

		</canvas>

	</body>

</html></span>


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