王子和公主 UVa10635
【题目描述】:王子和公主 一个王子和公主在n*n的格子中行走,这些格子是有1....n^2的编号的。现在给定p+1个数,再给定q+1个数,公主和王子可以选择其中某些格子行走,求他们最多能走几个相同的格子。 |
【算法分析】: 这道题读题是关键,然后我们发现需要的是公共的格子,又需要是这个步数最大化,可以想到最长公共子序列的模型。序列长度小于等于62500,最长公共子序列复杂度是n^2,超时。然而可以巧妙的将LCS转化为LIS,使用nlogn的方法求解 |
解题思路:本题是一道经典的题目,巧妙的将LCS问题转化为LIS问题。这种题目的一个特定就是其中一个序列的所有元素均不相同。首先,我们可以对A数组重新编号为{1,2,3,...n},接下来对于B数组的每个元素,替换为A中那个元素的编号,若没有在A中出现,那么直接置0,这样,B数组也变为一个由编号构成的数组,此时我们发现,A数组是一个自然序列,那么只要在B中找到最长上升的子序列,就是和A的最长公共子序列!这就是本题的巧妙之处!而LIS问题有O(N*logN)的解法,因此可以通过本题的数据规模。
为什么呢?
A'中为A中元素的代号 即 它们的顺序号
B'中为B中元素对应的代号(为了分析方便,这里将B中有而A中没有出现的去掉,等价于置0)
因为去掉了B中有而A中没有出现的,所以B'中的代号全部对应A中的数
设B'的一个子集p,那么将p由代号翻译成原来数字后一定是A的一个子集(不过在A中顺序不确定)
B'的LIS时B‘中一个上升的子集 即 顺序号上升的子集 即 该子集在A中是按从左到右的顺序的
所以它是A与B的公共子序列
又因为LIS最长,所以公共子序列最长 即 最长公共子序列
#include<iostream>
#include<cstring>
#define Max_n 300
using namespace std; int a[Max_n*Max_n],b[Max_n*Max_n];
int f[Max_n*Max_n];
int n,p,q;
int lable[Max_n*Max_n]; int LIS(){
f[]=;
int num=;
for(int i=;i<=q+;i++){
for(int j=;j<i;j++) if(b[j]<b[i]){
f[i]=max(f[i],f[j]+);
}
num=max(num,f[i]);
//cout<<i<<':'<<f[i]<<endl;
}
return num;
} int main(){
memset(lable,,sizeof(lable));
freopen("27.in","r",stdin); int x;
cin>>n>>p>>q;
for(int i=;i<=p+;i++){
cin>>x;
if(lable[x]==){
lable[x]=i;
}
a[i]=lable[x];
//cout<<a[i]<<' ';
}
//cout<<endl;
for(int i=;i<=q+;i++){
cin>>x;
b[i]=lable[x];
//cout<<b[i]<<' ';
}
//cout<<endl; int ans=LIS(); cout<<ans; fclose(stdin);
return ;
}
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