单源最短路径——Floyd算法

正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for ( int i = ; i < 节点个数; ++i )
{
    for ( int j = ; j < 节点个数; ++j )
    {
        for ( int k = ; k < 节点个数; ++k )
        {
            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )
            {
                // 找到更短路径
                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
            }
        }
    }
}

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

让我们来看一个例子，看下图：

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

for ( int k = ; k < 节点个数; ++k )
{
    for ( int i = ; i < 节点个数; ++i )
    {
        for ( int j = ; j < 节点个数; ++j )
        {
            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )
            {
                // 找到更短路径
                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
            }
        }
    }
}

这样一来，对于每一个节点X，我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。

那么接下来的问题就是，我们如何找出最短路径呢？这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来，假设我们要找A->B的最短路径，那么就依次查找，假设Path(AB)的值为P，那么接着查找Path(AP)，假设Path(AP)的值为L，那么接着查找Path(AL)，假设Path(AL)的值为A，则查找结束，最短路径为A->L->P->B。

那么，如何填充Path的值呢？很简单，当我们发现Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)成立时，就要把最短路径改为A->...->X->...->B，而此时，Path(XB)的值是已知的，所以，Path(AB) = Path(XB)。

void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )
{
    // 先初始化_arrPath
    for ( int i = ; i < _nVertexCount; ++i )
    {
        for ( int j = ; j < _nVertexCount; ++j )
        {
            _arrPath[i][j] = i;
        }
    }
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

    for ( int k = ; k < _nVertexCount; ++k )
    {
        for ( int i = ; i < _nVertexCount; ++i )
        {
            for ( int j = ; j < _nVertexCount; ++j )
            {
                if ( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] )
                {
                    // 找到更短路径
                    _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];
                            _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];
                }
            }
        }
    }
}

测试代码，打印最短路径

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<climits>

using namespace std;

const int MAX_VERTEX_COUNT = ;
const int INFINITE = ;
int arrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];
int arrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];

void floyd(int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount)
{
    // 先初始化_arrPath
    for (int i = ; i < _nVertexCount; ++i)
    {
        for (int j = ; j < _nVertexCount; ++j)
        {
            _arrPath[i][j] = i;
        }
    }
    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

    for (int k = ; k < _nVertexCount; ++k)
    {
        for (int i = ; i < _nVertexCount; ++i)
        {
            for (int j = ; j < _nVertexCount; ++j)
            {
                //cout << k << "," << i << "," << j << endl;
                //cout << _arrDis[i][k] << "," << _arrDis[k][j] << "," << _arrDis[i][j] << endl;
                if (_arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j])
                {
                    // 找到更短路径
                    _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];
                    _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];

                    //cout << "_arrDis[i][j] = " << _arrDis[i][j] << endl;
                    //cout << "_arrPath[i][j] = " << _arrPath[i][j] << endl;

                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    for (int i = ; i < MAX_VERTEX_COUNT; i++)
        for (int j = ; j < MAX_VERTEX_COUNT; j++)
            arrDis[i][j] = INFINITE;

    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;
    arrDis[][] = ;

    floyd(arrDis, arrPath, MAX_VERTEX_COUNT);

    cout << "input two point for calculate :" << endl;
    int p1, p2;
    cin >> p1 >> p2;
    cout << arrDis[p1][p2] << endl;

    int k = p2;
    cout << k ;
    while (k != p1)
    {
        cout << "->" << arrPath[p1][k];
        k = arrPath[p1][k];
    }
}