bzoj2395[Balkan 2011]Timeismoney最小乘积生成树
所谓最小乘积生成树,即对于一个无向连通图的每一条边均有两个权值xi,yi,在图中找一颗生成树,使得Σxi*Σyi取最小值。
直接处理问题较为棘手,但每条边的权值可以描述为一个二元组(xi,yi),这也就不难想到将生成树转化为平面内的点,x代表Σxi,y代表Σyi(注意这里的xi,yi指的是在生成树中的边的权值),那么问题就变成了在平面内找一个点使得x*y最小,那么显然这个点是在下凸壳上的。
因此可以首先找出两个一定在凸包上的点,例如A(minx,y),B(miny,x),在直线AB下方找一个在凸包上且x*y最小的点。
于是可以每次找距离直线AB最远的点,有两种求法,令找到的那个点为C,如果利用叉乘,即使向量CB叉乘向量CA最大,因为我们考虑的是向量的模长,可以让向量CA叉乘向量CB(虽然模长是负的,但并没有什么关系,当然也可以最大化这个值,只不过一个是最小生成树,一个是最大生成树而已),然后最小化这个值即可。
2S=(B.x-A.x)(C.y-B.y)-(B.y-A.y)(C.x-A.x)省略常数后就变成了B.x*C.y-A.x*C.y-B.y*C.x+A.y*C.x。
因为只需要求Σxi,Σyi,因此只需要求出点的坐标,并不要考虑面积,所以将每条边的yi=yi*(B.x-A.x),xi=xi*(A.y-B.y),以(xi+yi)为关键字排序kruskal()就行了。
然后递归处理,直到叉积大于等于0退出(此时AB下方一定没有点)
也可以利用点到直线的距离公式|Ax0+By0+C|/(√(A2+B2)),省略常数且保证B<=0,那么若点在直线下方,则Ax+By+C>0。
因此可以省略绝对值符号,再省略常数,即使Ax0+By0最大,因此xi=xi*A,yi=yi*B,将(xi+yi)为关键字排序作最大生成树即可,还是按叉积判断(理应也可以看C.x*A+C.y*B<=0就退出,然而狂WA不止。。。。并不知道这是为什么。。。。)
然后这是一道裸题,就可以愉快地切掉了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 10100
#define inf 0x7fffffff int n,m;
int val[*maxn],fa[maxn]; struct edge{
int from,to,x,y;
long long z;
}e[maxn]; struct node{
int x,y;
long long calc(){return (long long)x*y;}
}minx,miny,ans; int find(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
} node kruskal(){
int tot=;node now={,};
for (int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
for (int i=;i<=m;i++){
int a=find(e[i].from),b=find(e[i].to);
if (a!=b){
fa[a]=b;
tot++;
now.x+=e[i].x;
now.y+=e[i].y;
if (tot==n-) break;
}
}
long long tmpa=ans.calc(),tmpb=now.calc();
if (tmpb<tmpa||(tmpb==tmpa&&now.x<ans.x)) ans=now;
return now;
} long long cross(node a,node b,node c){
long long x1=(b.x-a.x),x2=(b.y-a.y),y1=(c.x-a.x),y2=(c.y-a.y);
return (x1*y2-x2*y1);
} bool cmpx(edge a,edge b){return a.x<b.x;}
bool cmpy(edge a,edge b){return a.y<b.y;}
bool cmpz(edge a,edge b){return a.z<b.z;} void solve(node a,node b){
for (int i=;i<=m;i++)
e[i].z=e[i].y*(b.x-a.x)+e[i].x*(a.y-b.y);
sort(e+,e+m+,cmpz);
node t=kruskal();
if (cross(a,b,t)>=) return;
solve(a,t);
solve(t,b);
} int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=(node){inf,inf};
for (int i=,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&e[i].x,&e[i].y),e[i].from=++u,e[i].to=++v;
sort(e+,e+m+,cmpx);
minx=kruskal();
sort(e+,e+m+,cmpy);
miny=kruskal();
//cout<<minx.x<<' '<<minx.y<<' '<<miny.x<<' '<<miny.y<<endl;
solve(minx,miny);
printf("%d %d",ans.x,ans.y);
return ;
}
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 10100
#define inf 0x7fffffff int n,m;
int val[*maxn],fa[maxn]; struct edge{
int from,to,x,y;
long long z;
}e[maxn]; struct node{
int x,y;
long long calc(){return (long long)x*y;}
}minx,miny,ans; int find(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
} node kruskal(){
int tot=;node now={,};
for (int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
for (int i=;i<=m;i++){
int a=find(e[i].from),b=find(e[i].to);
if (a!=b){
fa[a]=b;
tot++;
now.x+=e[i].x;
now.y+=e[i].y;
if (tot==n-) break;
}
}
long long tmpa=ans.calc(),tmpb=now.calc();
if (tmpb<tmpa||(tmpb==tmpa&&now.x<ans.x)) ans=now;
return now;
} int cross(node a,node b,node c){
int x1=b.x-a.x,y1=b.y-a.y,x2=c.x-a.x,y2=c.y-a.y;
return (x1*y2-x2*y1);
} bool cmpx(edge a,edge b){return a.x<b.x;}
bool cmpy(edge a,edge b){return a.y<b.y;}
bool cmpz(edge a,edge b){return a.z>b.z;} void solve(node a,node b){
int A=b.y-a.y,B=a.x-b.x;
for (int i=;i<=m;i++) e[i].z=e[i].x*A+e[i].y*B;
sort(e+,e+m+,cmpz);
node t=kruskal();
if (cross(a,b,t)<) solve(a,t),solve(t,b);
} int main(){
// freopen("data.in","r",stdin);
// freopen("WA.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=(node){inf,inf};
for (int i=,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&e[i].x,&e[i].y),e[i].from=++u,e[i].to=++v;
sort(e+,e+m+,cmpx);
minx=kruskal();
sort(e+,e+m+,cmpy);
miny=kruskal();
//cout<<minx.x<<' '<<minx.y<<' '<<miny.x<<' '<<miny.y<<endl;
solve(minx,miny);
printf("%d %d",ans.x,ans.y);
return ;
}
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