【sgu282】Isomorphism

题意：

给出n(n<=53)点的无向完全图 要将每条边染上m(m<=1000)种颜色的一种

只改变顶点编号的图视为同种方案 求本质不同方案数%p(p>n且为质树)的值

题解：

这题貌似是很裸的polya 但是发现置换有n!个 根本枚举不出来 于是我们采用算每个点置换对应的边轮换相加得到答案 注意：这里的点置换并不是指原图中的点 而是某条边的两个顶点
假设现在知道一个点置换P=(1)^c1(2)^c2(3)^c3... P对应的边轮换有两种
1.边的两个顶点在同一个点轮换里 设点轮换长度为L 这个点轮换对应的边轮换有L/2个 这种总的有∑(i/2*ci)个
2.边的两个顶点在不同的点轮换里 设点轮换长度为L1、L2 这两个点轮换对应的边轮换有***(L1，L2)个
证明：置换长度为L1*L2 轮换长度为lcm(L1，L2) 边轮换=L1*L2/lcm(L1，L2)=***(L1，L2)
这种总数有 分为两种情况：
(1)L1=L2 有∑(***(i，i)*C(ci，2))=∑(i*ci*(ci-1)/2)个
(2)L1≠L2 有∑(***(i，j)*ci*cj)个
所以一个点置换对应的边轮换个数有 ∑(i/2*ci)+∑(i*ci*(ci-1)/2)+∑(***(i，j)*ci*cj)个
点置换的求法：知道∑(i*ci)=n 用dfs枚举ci即可 知道指定的{ci} 边置换个数是相同的 只要再*共轭类就行了
知道边置换只要套一下polya就完了 因为它的p是给出的 且大于n 所以***(p，n!)=1 所以n!的乘法逆元为n!^(p-2)
这题也有点会卡常数 但是没spoj那么凶残 ci的值需要开个栈记下了 不然可能会TLE 另外 这题虽然开long long没关系 但是有些连乘的地方要%多次 不然long long也会爆

代码：

 #include <cstdio>
 typedef long long ll;
 ll n,m,p,ans,add[][],jc[],top;
 ll gcd(ll a,ll b){
           ll t;
           while (b) t=a,a=b,b=t%b;
           return a;
 }
 ll mi(ll a,ll b){
          ll res=;
          for (;b;b>>=){
              if (b&) res=res*a%p;
              a=a*a%p;
          }
          return res;
 }
 ll gon2(){
           ll save=;
           for (ll i=;i<=top;i++)
           save=(save*jc[add[i][]]%p*mi(add[i][],add[i][]))%p;
           return jc[n]*mi(save,p-)%p;
 }
 void work(){
      ll tot=;
      for (ll i=;i<=top;i++){
          tot+=(add[i][]/)*add[i][];
          if (add[i][]>) tot+=add[i][]*add[i][]*(add[i][]-)/;
          for (ll j=i+;j<=top;j++) tot+=gcd(add[i][],add[j][])*add[i][]*add[j][];
      }
      ans=(ans+mi(m,tot)*gon2())%p;
 }
 void dfs(ll t,ll r){
      if (t>r){
               if (!r) work();
               return;
      }
      for (ll i=;i*t<=r;i++){
          if (i) add[++top][]=i,add[top][]=t;
          dfs(t+,r-i*t);
          if (i) --top;
      }
 }
 void extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
      if (!b) x=,y=;
      else{
           extgcd(b,a%b,x,y);
           ll t=x;
           x=y;
           y=t-a/b*y;
      }
 }
 void makejc(){
      jc[]=;
      for (ll i=;i<=;i++) jc[i]=jc[i-]*i%p;
 }
 int main(){
     freopen("sgu282.in","r",stdin);
     freopen("sgu282.out","w",stdout);
     scanf("%I64d %I64d %I64d\n",&n,&m,&p);
     makejc();
     dfs(,n);
     printf("%I64d",ans*mi(jc[n],p-)%p);
     fclose(stdin);
     fclose(stdout);
 }