Python小白的数学建模课-06 固定费用问题

Python 实例介绍固定费用问题的建模与求解。

学习 PuLP工具包中处理复杂问题的快捷使用方式。

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前文讲到几种典型的 0-1 规划问题，给出了 PuLP 求解的案例。由于 0-1 规划问题种类很多，又是数模竞赛热点，有必要再结合几个实例进行介绍。

1. 固定费用问题案例解析

1.1 固定费用问题（Fixed cost problem）

固定费用问题，是指求解生产成本最小问题时，总成本包括固定成本和变动成本，而选择不同生产方式会有不同的固定成本，因此总成本与选择的生产方式有关。

固定费用问题，实际上是互斥的目标函数问题，对于不同的生产方式具有多个互斥的目标函数，但只有一个起作用。固定费用问题不能用一般的线性规划模型求解。

一般地，设有 m 种生产方式可供选择，采用第 j 种方式时的固定成本为 \(K_j\)、变动成本为 \(c_j\)、产量为 \(x_j\)，则采用各种生产方式的总成本分别为：

\[min\;P_j = \begin{cases}
k_j + c_j x_j，&x_j \geq 0\\
0，&x_j = 0, j=1,...m
\end{cases}
\]

该类问题的建模方法，为了构造统一的目标函数，可以引入 m 个 0-1 变量 y_j 表示是否采用第 j 种生产方式：

\[y_j = \begin{cases}
0，不采用第\;j\;种生产方式\\
1，采用第\;j\; 种生产方式
\end{cases}
\]

于是可以构造新的目标函数和约束条件：

\[min\;f(x) = \sum_{j=1} ^m (k_j y_j + c_j x_j)\\
s.t.:\;x_j \leq y_j M，j=1,...m
\]

M 是一个充分大的常数。

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1.2 案例问题描述

例题 1：

某服装厂可以生产 A、B、C 三种服装，生产不同种类服装需要租用不同设备，设备租金、生产成本、销售价格等指标如下表所示。

服装种类	设备租金	材料成本	销售价格	人工工时	设备工时	设备可用工时
单位	（元）	（元/件）	（元/件）	（小时/件）	（小时/件）	（小时）
A	5000	280	400	5	3	300
B	2000	30	40	1	0.5	300
C	2000	200	300	4	2	300

如果各类服装的市场需求都足够大，服装厂每月可用人工时为 2000h，那么应该如何安排生产计划使利润最大？

1.3 建模过程分析

首先要理解生产某种服装就会发生设备租金，租金只与是否生产该产品有关，而与生产数量无关，这就是固定成本。因此本题属于固定费用问题。

有些同学下意识地认为是从 3 种产品中选择一种，但题目中并没有限定必须或只能生产一种产品，因此决策结果可以是都不生产、选择 1 种或 2 种产品、3 种都生产。

决策结果会是什么都不生产吗？有可能的。

每种产品的利润：（销售价格 - 材料成本）× 生产数量 - 设备租金

本题中如果设备租金很高，决策结果就可能是什么都不做时利润最大，这是利润为 0，至少不亏。

现在可以用固定费用问题的数学模型来描述问题了：

设 \(x_i\) 为是否生产第 \(i\) 种服装，\(x_i\) 是 0/1变量：

\[x_i = \begin{cases}
0，不生产第\;i\;种服装\\
1，生产第\;i\;种服装，i=1,2,3
\end{cases}
\]

设 \(y_i\) 为生产第 \(i\) 种服装的数量， \(y_i\) 是整数类型。说 \(y_i\) 是实数变量的同学，你经常穿半条裤子吗？

根据条件确定决策变量的取值范围。例如，本例中的产量 \(y_i\) 显然要大于等于 0。进一步地，题目并没有直接给出 \(y_i\) 的取值上限，但可以从设备单件工时与设备可用工时的关系推导出取值上限为 [100, 600, 150]，也可以从单位人工工时与人工可用工时的关系推导出上限 [400, 2000, 500]，最后取较小者为 [100, 600, 150]。

数学模型就可以表达为：

\[max\; z = 120 y_1 + 10 y_2 + 100 y_3 - 5000 x_1 - 2000 x_2 - 2000 x_3\\
s.t.:\;\begin{cases}
5 y_1 + y_2 + 4 y_3 \leq 2000\\
3 y_1 \leq 300 x_1\\
0.5 y_2 \leq 300 x_2\\
2 y_3 \leq 300 x_3 \\
0 \leq y_1 \leq 100\\
0 \leq y_2 \leq 600\\
0 \leq y_3 \leq 150\\
\end{cases}
\]

1.4 PuLP 求解固定费用问题的编程

编程求解建立的数学模型，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果。

模型求解的编程步骤与之前的线性规划、整数规划问题并没有什么区别，这就是 PuLP工具包的优势。

（0）导入 PuLP库函数

    import pulp

（1）定义一个规划问题

    FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值

pulp.LpProblem 用来定义问题的构造函数。"FixedCostP1"是用户定义的问题名。

参数 sense 指定问题求目标函数的最小值/最大值 。本例求最大值，选择 “pulp.LpMaximize” 。

（2）定义决策变量

    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定义 x1，0-1变量，是否生产 A 产品
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定义 x2，0-1变量，是否生产 B 产品
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定义 x3，0-1变量，是否生产 C 产品
    y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定义 y1，整型变量
    y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义 y2，整型变量
    y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定义 y3，整型变量

pulp.LpVariable 用来定义决策变量的函数。参数 cat 用来设定变量类型，' Binary ' 表示0/1变量（用于0/1规划问题），' Integer ' 表示整数变量。'lowBound'、'upBound' 分别表示变量取值范围的下限和上限。

（3）添加目标函数

    FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 设置目标函数 f(x)

（4）添加约束条件

    FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式约束

　　添加约束条件使用 "问题名 += 约束条件表达式" 格式。

　　约束条件可以是等式约束或不等式约束，不等式约束可以是 小于等于 或 大于等于，分别使用关键字">="、"<="和"=="。

（5）求解

    FixedCostP1.solve()

　　solve() 是求解函数，可以对求解器、求解精度进行设置。

1.5 Python 例程：固定费用问题

# mathmodel07_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-04
# Python小白的数学建模课 @ Youcans

import pulp      # 导入 pulp 库

# 主程序
def main():
    # 固定费用问题(Fixed cost problem)
    print("固定费用问题(Fixed cost problem)")
    # 问题建模：
    """
        决策变量：
            y(i) = 0, 不生产第 i 种产品
            y(i) = 1, 生产第 i 种产品
            x(i), 生产第 i 种产品的数量, i>=0 整数
            i=1,2,3
        目标函数：
            min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3
        约束条件：
            5x1 + x2 + 4x3 <= 2000
            3x1 <= 300y1
            0.5x2 <= 300y2
            2x3 <= 300y3
        变量取值范围：Youcans XUPT
            0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整数变量
            y1, y2 ,y3 为 0/1 变量
    """
    # 1. 固定费用问题(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解
    # (1) 建立优化问题 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值
    # (2) 建立变量
    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定义 x1，0-1变量，是否生产 A 产品
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定义 x2，0-1变量，是否生产 B 产品
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定义 x3，0-1变量，是否生产 C 产品
    y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定义 y1，整型变量
    y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义 y2，整型变量
    y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定义 y3，整型变量
    # (3) 设置目标函数
    FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 设置目标函数 f(x)
    # (4) 设置约束条件
    FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式约束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP1.solve()
    # (6) 打印结果
    print(FixedCostP1.name)
    if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for v in FixedCostP1.variables():  # youcans
            print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
        print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective))  # 输出最优解的目标函数值
    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的数学建模课 @ Youcans

1.6 Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_1
A = 1.0
B = 1.0
C = 1.0
yieldA = 100.0
yieldB = 600.0
yieldC = 150.0
Max F(x) =  24000.0

　　从固定费用问题模型的求解结果可知，A、B、C 三种服装都生产，产量分别为 A/100、B/600、C/150 时获得最大利润为：24000。

---

2. PuLP 求解规划问题的快捷方法

2.1 PuLP 求解固定费用问题的编程

通过从线性规划、整数规划、0-1规划到上例中的混合0-1规划问题，我们已经充分体会到 PuLP 使用相同的步骤和参数处理不同问题所带来的便利。

但是，如果问题非常复杂，例如变量数量很多，约束条件复杂，逐个定义变量、逐项编写目标函数与约束条件的表达式，不仅显得重复冗长，不方便修改对变量和参数的定义，而且在输入过程中容易发生错误。因此，我们希望用字典、列表、循环等快捷方法来进行变量定义、目标函数和约束条件设置。

PuLP 提供了快捷建模的编程方案，下面我们仍以上节中的固定费用问题为例进行介绍。本例中的问题、条件和参数都与上节完全相同，以便读者进行对照比较快捷方法的具体内容。

（0）导入 PuLP 库函数

    import pulp

（1）定义一个规划问题

    FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值

（2）定义决策变量

    types = ['A', 'B', 'C']  # 定义产品种类
    status = pulp.LpVariable.dicts("生产决策", types, cat='Binary')  # 定义 0/1 变量，是否生产该产品
    yields = pulp.LpVariable.dicts("生产数量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义整型变量

本例中的快捷方法使用列表 types 定义 0/1 变量 status 和 整型变量 yields，不论产品的品种有多少，都只有以上几句，从而使程序大为简化。

（3）添加目标函数

    fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各产品的 固定费用
    unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各产品的 单位利润
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])

虽然看起来本例中定义目标函数的程序语句较长，但由于使用字典定义参数、使用 for 循环定义目标函数，因此程序更加清晰、简明、便于修改参数、不容易输入错误。

（4）添加约束条件

    humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各产品的 单位人工工时
    machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各产品的 单位设备工时
    maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各产品的 最大设备工时
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式约束
    for i in types:
        FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式约束

快捷方法对于约束条件的定义与对目标函数的定义相似，使用字典定义参数，使用循环定义约束条件，使程序简单、结构清楚。

注意本例使用了两种不同的循环表达方式：语句内使用 for 循环遍历列表实现所有变量的线性组合，标准的 for 循环结构实现多组具有相似结构的约束条件。读者可以对照数学模型及上例的例程，理解这两种定义约束条件的快捷方法。

（5）求解和结果的输出

    # (5) 求解
    FixedCostP2.solve()
    # (6) 打印结果
    print(FixedCostP2.name)
    temple = "品种 %(type)s 的决策是：%(status)s，生产数量为：%(yields)d"
    if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for i in types:
            output = {'type': i,
                      'status': '同意' if status[i].varValue else '否决',
                      'yields': yields[i].varValue}
            print(temple % output) # youcans@qq.com
        print("最大利润 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

由于快捷方法使用列表或字典定义变量，对求解的优化结果也便于实现结构化的输出。

2.2 Python 例程：PuLP 快捷方法

# mathmodel07_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-04
# Python小白的数学建模课 @ Youcans

import pulp      # 导入 pulp 库

# 主程序
def main():
    # 2. 问题同上，PuLP 快捷方法示例
    # (1) 建立优化问题 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值
    # (2) 建立变量
    types = ['A', 'B', 'C']  # 定义产品种类
    status = pulp.LpVariable.dicts("生产决策", types, cat='Binary')  # 定义 0/1 变量，是否生产该产品
    yields = pulp.LpVariable.dicts("生产数量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义整型变量
    # (3) 设置目标函数
    fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各产品的 固定费用
    unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各产品的 单位利润
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
    # (4) 设置约束条件
    humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各产品的 单位人工工时
    machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各产品的 单位设备工时
    maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各产品的 最大设备工时
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式约束
    for i in types:
        FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式约束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP2.solve()
    # (6) 打印结果
    print(FixedCostP2.name)
    temple = "品种 %(type)s 的决策是：%(status)s，生产数量为：%(yields)d"
    if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for i in types:
            output = {'type': i,
                      'status': '同意' if status[i].varValue else '否决',
                      'yields': yields[i].varValue}
            print(temple % output)
        print("最大利润 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的数学建模课 @ Youcans

2.3 Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_2
品种 A 的决策是：同意，生产数量为：100
品种 B 的决策是：同意，生产数量为：600
品种 C 的决策是：同意，生产数量为：150
最大利润 =  24000.0

　　本例的问题、条件和参数都与上节完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的编程方案，优化结果也与 PuLP 标准方法完全相同，但本例使用了结构化的输出显示，使输出结果更为直观。

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3. 课后练习

1. 修改生产某种服装的设备租金，例如将 A 产品租金调整为 10000、20000元，观察求解结果有何差异？
2. 将各种设备租金都调整为 20000元，观察求解结果有何差异？该结果有何现实意义？
3. 如果希望找到影响是否生产某种服装决策的设备租金的大小，即租金低于该值就可以生产、高于该值则不能生产，应该如何处理？

【本节完】

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