[cf1515G]Phoenix and Odometers

显然这条路径只能在$v_{i}$所在的强连通分量内部，不妨仅考虑这个强连通分量

对这个强连通分量dfs，得到一棵外向树（不妨以1为根）

考虑一条边$(u,v,l)$，由于强连通，总存在一条从$v$到$u$的路径，经过这条路径$t_{i}$次，再经过$u$到$v$这条边$t_{i}-1$次，即从$v$到达了$u$，且总边权$\equiv -l(mod\ t_{i})$

由此，不妨将$(v,u,-l)$也作为一条边加入图中，显然不影响（以下称这条边为$(u,v,l)$的反向边）

此时，令$dep_{x}$为1通过树边走到$x$的权值和，那么从$x$到$y$通过树边及其反向边的最短路，权值和即
$$
(dep_{lca(x,y)}-dep_{x})+(dep_{y}-dep_{lca(x,y)})=dep_{y}-dep_{x}
$$
显然若没有非树边，从$x$到$y$的任意一条路径（之前仅考虑最短路）权值和都为$dep_{y}-dep_{x}$（显然每一条边都是最短路，前后项相消即可）

考虑非树边$(u,v,l)$，若从$x$到$y$的路径每经过一次$(u,v,l)$，实际上即让边权和加$l-(dep_{v}-dep_{u})$，最后统计所有非树边的贡献和即为总边权和

另一方面，我们显然可以经过每一条非树边任意次

由此，对每一条非树边$(u,v,l)$求出$l-(dep_{v}-dep_{u})$，假设依次为$a_{1},a_{2},...,a_{s}$，问题即判定是否存在一组解$x_{i}\in N$，使得$\sum_{j=1}^{s}x_{j}a_{j}\equiv -s_{i}(mod\ t_{i})$

根据数论知识，这显然等价于$\gcd(\gcd_{i=1}^{s}a_{i},t_{i})\mid s_{i}$，判定即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 #define ll long long
 5 struct Edge{
 6     int nex,to,len;
 7 }edge[N<<1];
 8 int E,n,m,q,x,y,z,scc,head[N],head_rev[N],dfn[N],vis[N],bl[N];
 9 ll dep[N],ans[N];
10 ll gcd(ll x,ll y){
11     if (!y)return x;
12     return gcd(y,x%y);
13 }
14 void add(int x,int y,int z){
15     edge[E].nex=head[x];
16     edge[E].to=y;
17     edge[E].len=z;
18     head[x]=E++;
19 }
20 void add_rev(int x,int y,int z){
21     edge[E].nex=head_rev[x];
22     edge[E].to=y;
23     edge[E].len=z;
24     head_rev[x]=E++;
25 }
26 void dfs1(int k){
27     if (vis[k])return;
28     vis[k]=1;
29     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)dfs1(edge[i].to);
30     dfn[++dfn[0]]=k;
31 }
32 void dfs2(int k,ll s){
33     if (bl[k])return;
34     bl[k]=scc;
35     dep[k]=s;
36     for(int i=head_rev[k];i!=-1;i=edge[i].nex)dfs2(edge[i].to,s+edge[i].len);
37 }
38 int main(){
39     scanf("%d%d",&n,&m);
40     memset(head,-1,sizeof(head));
41     memset(head_rev,-1,sizeof(head_rev));
42     for(int i=1;i<=m;i++){
43         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
44         add(x,y,z);
45         add_rev(y,x,z);
46     }
47     for(int i=1;i<=n;i++)
48         if (!vis[i])dfs1(i);
49     for(int i=n;i;i--)
50         if (!bl[dfn[i]]){
51             scc++;
52             dfs2(dfn[i],0);
53         }
54     for(int x=1;x<=n;x++)
55         for(int j=head[x];j!=-1;j=edge[j].nex){
56             y=edge[j].to,z=edge[j].len;
57             if (bl[x]==bl[y])ans[bl[x]]=gcd(ans[bl[x]],z-(dep[x]-dep[y]));
58         }
59     scanf("%d",&q);
60     for(int i=1;i<=q;i++){
61         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
62         if (y%gcd(ans[bl[x]],z)==0)printf("YES\n");
63         else printf("NO\n");
64     }
65 }