luoguP1528&2329 栅栏&切蛋糕

前言

蒟弱本来是在亿万年前做二分答案专题栅栏的，由于数据水所以过掉了，后来发现有一个数据加强版，也就是本题，于是爆T了...过了有个五六个月回来填坑了...现在开O2是在最优解第一个（自豪ing

题目描述

有 \(n\) 块 大小分别为 \(a_i\) 的蛋糕，分给 \(m\) 个嘴大小分别为 \(b_i\) 的人，但是蛋糕只能以整块的形式给人，求最多给多少人。

思路

很明显，答案在排序之后具有单调性，所以可以二分能够分给多少人，但二分并没有一个明确的套路切蛋糕，所以需要进行深搜；

于是来考虑最优贪心策略：

1. 首先将所有蛋糕和嘴的大小排序，优先喂嘴小的人；

对应着这两行：

n=read();F(i,1,n)a[i]=read(),tot+=a[i];std::sort(a+1,a+n+1);
m=read();F(i,1,m)b[i]=read();std::sort(b+1,b+m+1);

1. 排完序后，考虑缩小二分范围，我们从小到大求得嘴大小的前缀和，如果到第 \(i\) 个人的嘴大小总和 \(pre_i\) 超过了上面求出的蛋糕大小总和 \(tot\)，或者 \(b_i>a[n]\)，那么到这里无论如何切都无法满足条件，二分的最大边界就是 \(i-1\) 了。另外，如果蛋糕总和都比最小的嘴小，那么一个也不能满足。

对应着这三行：

if(tot<b[1]){pi(0);return 0;}
F(i,1,m){pre[i]=pre[i-1]+b[i];if(pre[i]>tot||b[i]>a[n]){cnt=i-1;break;}}
if(!cnt)cnt=m;

我们开始二分+深搜：

1. 在深搜过程中，枚举能够切下够这口嘴吃的蛋糕，切掉后蛋糕总大小要减去嘴的大小。如果这块蛋糕切剩下的不够最小嘴的，那么就相当于这块蛋糕没有用了，蛋糕总大小要再减去没有用的这部分。

也就是这样：

if(a[i]>=b[x]){
		a[i]-=b[x];tot-=b[x];
		if(a[i]<b[1])tot-=a[i];
}

1. 显然，当剩下几张嘴的总大小比剩下几块蛋糕的总大小还要大时，方案是不符合的。

也就是这句：

if(pre[x]>tot)return 0;

1. 当当前搜索到的这口嘴与下一个要搜索的嘴大小相同时，既然已经枚举到了第 \(i\) 块蛋糕，说明第 \(i\) 块蛋糕之前的蛋糕对于这个大小的嘴都是没有正确方案的，于是搜索下一口嘴时就可以直接从第 \(i\) 块蛋糕枚举。

这句话的实现长这样：

if(b[x]==b[x-1])fl=check(x-1,i);else fl=check(x-1,1);

最后无论有没有正确方案都要记得回溯啊！

if(a[i]<b[1])tot+=a[i];
a[i]+=b[x];tot+=b[x];

到最后如果枚举完所有的蛋糕都没有正确方案，就可以直接 \(return\ 0\) 了。

于是本题就可以愉快的结束了～

CODE

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
namespace EMT{
	#define pf printf
	#define F(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
	#define D(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
	inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
	inline void pi(int x){pf("%d",x);}inline void pn(){pf("\n");}inline void ps(int a[],int size){F(i,1,size)pi(a[i]);pn();}
	int n,m,a[55],b[1100],ans,cnt,ws,tot,pre[1100];
	inline bool check(int x,int st){
		if(!x)return 1;
		if(pre[x]>tot)return 0;
		bool fl=0;
		F(i,st,n){
			if(a[i]>=b[x]){
				a[i]-=b[x];tot-=b[x];
				if(a[i]<b[1])tot-=a[i];
				if(b[x]==b[x-1])fl=check(x-1,i);else fl=check(x-1,1);
				if(a[i]<b[1])tot+=a[i];
				a[i]+=b[x];tot+=b[x];
				if(fl)return 1;
			}
		}return 0;
	}
	inline short main(){
		n=read();F(i,1,n)a[i]=read(),tot+=a[i];std::sort(a+1,a+n+1);
		m=read();F(i,1,m)b[i]=read();std::sort(b+1,b+m+1);;;;;;
		if(tot<b[1]){pi(0);return 0;}
		F(i,1,m){pre[i]=pre[i-1]+b[i];if(pre[i]>tot||b[i]>a[n]){cnt=i-1;break;}}
		if(!cnt)cnt=m;
		int l=1,r=cnt,ans=0;
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(check(mid,1))l=mid+1,ans=mid;
			else r=mid-1;
		}
		pi(ans);
		return 0;
	}
}
signed main(){return EMT::main();}