【UOJ#196】【BZOJ4574】[Zjoi2016]线段树

题目链接：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4574

http://uoj.ac/problem/196

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考虑数字随机并且值域够大，我们将元素离散化并且不需要去重。

令$g[i]$表示每一个位置的期望大小。

那么${Ans=\sum (g[i]*(\frac{n(n+1))}{2})^{q})}$

考虑根据这个${(\frac{n(n+1))}{2})^{q}}$转换一下问题，是不是可以变成：

---------------------------------------------分割线----------------------------------------------------------------

令${sum[i][j]}$表示序列的第$i$个位置的元素在$q$次操作后变成了离散化之后$j$大的方案数。

那么${Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(sum[i][j]*X[j])}$    //$X[i]$表示第离散化之后的第$i$个元素原本对应的数字的大小。

---------------------------------------------分割线----------------------------------------------------------------

考虑如何求${sum}$数组。

从左至右枚举离散化数列每一位上的值(设我枚举的数字为第${E}$大),我们知道一个数至多能够影响到一个有限的区间,即区间${[L,R]}$中每一个数字都没有它大。

令${DP[k][i][j]}$表示第$k$次操作之后区间${[i,j]}$的值都小于等于当前枚举值的方案数。

转移:

${DP[k][i][j]=\sum _{u=L}^{i-1}(DP[k-1][u][j]*(u-1))+\sum _{v=j+1}^{R}(DP[k-1][i][v]*(n-v))+DP[k-1][i][j]*(cnt[i-1]+cnt[j-i+1]+cnt[n-j])}$

那么为啥是这样呢?

我来尝试解释一下第一项即${\sum _{u=L}^{i-1}(DP[k-1][u][j]*(u-1))}$

　　这个转移其实是从区间${[U,j]}$转移到区间${[i,j]}$，拿为啥要乘上一个系数$(u-1)$,是因为我要使得${[u,i-1]}$这段区间内不再小于等于当前枚举的值。所以只要选取了${[1,u-1]}$这段区间内的一个元素作为操作的左端点，固定右端点为${i-1}$则一定会存在一个数字(因为第${L-1}$个数一定大于当前枚举的数)使得${[u,i-1]}$这个区间的数不再小于等于当前枚举的数。

第二项的理解和第一项基本相同。

第三项就比较简单了，如果我选取的区间不跨过第$i$个位置或第$j$个位置，那就不会产生状态的改变，可与之间从区间${[i,j]}$向区间${[i,j]}$转移

对于每一个枚举的数字就算出了$DP$数组，我为了方便统计答案再设一个数组${sum{}'}$表示序列的第$i$个位置的元素在$q$次操作后变成了离散化之后数小于等于$j$大数的方案数。

${sum{}'[i][E]=sum{}'[i][E]+\sum _{u=L}^{R-1}\sum _{v=u+1}^{R}DP[q][u][v]}$

最后在利用${sum{}'}$数组计算出${sum}$数组。

${Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(sum[i][j]*X[j])}$

参考:http://blog.csdn.net/qq_34637390/article/details/51290087

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 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 #define maxn 410
 #define llg long long
 #define md (llg)((1e9)+7)
 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
 #define DD(i,j,k) dp[(i)%2][j][k]//方便滚动数组优化空间
 llg n,m,q,x[maxn],rank[maxn],L,R,wz[maxn];
 llg cnt[maxn],dp[][maxn][maxn],sum[maxn][maxn],A[maxn][maxn];

 inline bool cmp(llg a,llg b) {return x[a]<x[b];}

 void init()
 {
     cin>>n>>q;
     for (llg i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i]);
     for (llg i=;i<=n;i++) wz[i]=i;
     sort(wz+,wz+n+,cmp);
     for (llg i=;i<=n;i++) rank[wz[i]]=i;//第i个元素是第rank[i]小的
     //离散化
     for (llg i=;i<=n;i++) cnt[i]=(i*i+i)/;
     for(int i=;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++)A[i][j]=cnt[i-]+cnt[n-j]+cnt[j-i+];
 }

 void DP(llg now)
 {
     for (llg i=L;i<=R;i++) for (llg j=L;j<=R;j++) DD(,i,j)=DD(,i,j)=;
     DD(,L,R)=;
     llg val;
     for (llg k=;k<=q;k++)
     {
         for (llg i=L;i<=R;i++)
         {
             val=;
             for(int j=R;j>=i;j--)
             {
                 DD(k,i,j)=val; val=(val+DD(k-,i,j)*(n-j))%md;//计算第二项
             }
         }
         for (llg j=L;j<=R;j++)
         {
             val=;
             for(llg i=L;i<=j;i++)
             {
                 DD(k,i,j)=(DD(k,i,j)+val)%md; val=(val+DD(k-,i,j)*(i-));//计算第一项
             }
         }
         for (llg i=L;i<=R;i++)
         {
             for (llg j=i;j<=R;j++)
             {
                 DD(k,i,j)=(DD(k,i,j)+(DD(k-,i,j)*A[i][j]))%md;//计算第三项
             }
         }
     }
     for (llg i=L;i<=R;i++)
     {
         val=;
         for (llg j=R;j>=i;j--)
         {
             val+=DD(q,i,j); val%=md;
             sum[j][rank[now]]+=val;
             sum[j][rank[now]]%=md;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     //yyj("seg");
     init();
     for (llg i=;i<=n;i++)
     {
         L=R=i;
         while (L && x[L]<=x[i]) L--; L++;
         while (R<=n && x[R]<=x[i]) R++; R--;
         //预处理第i个元素可以影响的区间
         DP(i);
     }

     llg ans=;
     for (llg i=;i<=n;i++)
     {
         ans=;
         for (llg j=;j<=n;j++)
         {
             if (sum[i][j]==) continue;
             for (llg k=;k<j;k++) sum[i][j]-=sum[i][k];
             while (sum[i][j]<) sum[i][j]+=md;
             ans+=x[wz[j]]*sum[i][j]; ans%=md;
         }
         while (ans<) ans+=md;
         printf("%lld",ans);
         if (i!=) printf(" ");
     }
     return ;
 }