洛谷 5291 [十二省联考2019]希望（52分）—

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5291

考场上写了 16 分的。不过只得了 4 分。

对于一个救援范围，其中合法的点集也是一个连通块。 2ⁿ 枚举一个救援范围，然后换根 DP 一下范围内的每个点开始的最长链，那些最长链 <=L 的点就是该范围的合法点集。

这样得到每个合法点集出现的方案，与卷积 k 次即可。卷积的时候先 FWT 成点值，然后快速幂一样乘 k 次，再 FWT 回来即可。

但只有 4 分。过不了大样例。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

int rdn()

{

  int ret=;bool fx=;char ch=getchar();

  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}

  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();

  return fx?ret:-ret;

}

int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;}

int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}

const int N=1e6+,mod=;

int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<)x+=mod;return x;}

int n,L,k,hd[N],xnt,to[N<<],nxt[N<<];

void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;}

namespace S1{

  const int K=,M=(<<)+;

  int bin[K],dp[K],pr[K],sc[K],nd[K],tot;

  int ts,len,f[M],g[M]; bool vis[K],col[K];

  void chk_dfs(int cr,int fa)

  {

    vis[cr]=;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa)chk_dfs(v,cr);

  }

  void dfs(int cr,int fa)

  {

    dp[cr]=;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa)

    dfs(v,cr), dp[cr]=Mx(dp[cr],dp[v]+);

  }

  void dfsx(int cr,int fa,int tmp)

  {

    if(Mx(dp[cr],tmp)<=L)ts|=bin[cr-];

    int l=tot;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa) nd[++tot]=v;

    int r=tot; if(l==r)return;

    pr[l+]=dp[nd[l+]]+;

    for(int i=l+;i<=r;i++)pr[i]=Mx(pr[i-],dp[nd[i]]+);

    sc[r]=dp[nd[r]]+;

    for(int i=r-;i>l;i--)sc[i]=Mn(sc[i+],dp[nd[i]]+);

    for(int i=l+;i<=r;i++)

      {

    int tp=tmp;//=tmp

    if(i>l+)tp=pr[i-];if(i<r)tp=Mx(tp,sc[i+]);

    dfsx(nd[i],cr,tp+);

      }

  }

  void fwt(int *a,bool fx)

  {

    for(int R=;R<=len;R<<=)

      for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)

    for(int j=;j<m;j++)

      {

        if(!fx)a[i+j]=upt(a[i+j]+a[i+m+j]);

        else a[i+j]=upt(a[i+j]-a[i+m+j]);

      }

  }

  void solve()

  {

    bin[]=;

    for(int i=;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-]<<;

    for(int s=;s<bin[n];s++)

      {

    for(int i=;i<=n;i++)

      {

        vis[i]=;

        if(s&bin[i-])col[i]=; else col[i]=;

      }

    int cr=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      if(col[i]){chk_dfs(i,);cr=i;break;}

    bool fg=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      if(col[i]&&!vis[i]){fg=;break;}

    if(fg)continue;

    ts=tot=; dfs(cr,); dfsx(cr,,);

    if(ts){f[ts]++; g[ts]++;}

      }

    k--; len=bin[n]; fwt(g,); fwt(f,);

    while(k)

      {

    if(k&)

      {

        for(int i=;i<len;i++)f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;

      }

    for(int i=;i<len;i++)g[i]=(ll)g[i]*g[i]%mod;

    k>>=;

      }

    int ans=; fwt(f,);

    for(int s=;s<bin[n];s++)ans=upt(ans+f[s]);

    printf("%d\n",ans);

  }

}

int main()

{

  freopen("hope.in","r",stdin);

  freopen("hope.out","w",stdout);

  n=rdn();L=rdn();k=rdn();

  for(int i=,u,v;i<n;i++)

    u=rdn(),v=rdn(),add(u,v),add(v,u);

  if(n<=){S1::solve();return ;}

  return ;

}

囧

后来发现两个地方写错了：

1.换根的时候做了前缀 max 和后缀 max ，其中后缀取 max 写成取 min 了；

2.往孩子换根的时候用了一个 tp 对父亲来的 tmp 、前缀 max 、后缀 max 取 max ，结果 tp=tmp 之后写成 tp = pr[ ] 而非 tp = Mx( tp , pr[ ] ) 。

改了这两个地方就有 16 分了。

希望以后写代码的时候更仔细。别走神或不集中之类的。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

int rdn()

{

  int ret=;bool fx=;char ch=getchar();

  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}

  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();

  return fx?ret:-ret;

}

int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;}

int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}

const int N=1e6+,mod=;

int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<)x+=mod;return x;}

int n,L,k,hd[N],xnt,to[N<<],nxt[N<<];

void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;}

namespace S1{

  const int K=,M=(<<)+;

  int bin[K],dp[K],pr[K],sc[K],nd[K],tot;

  int ts,len,f[M],g[M]; bool vis[K],col[K];

  void chk_dfs(int cr,int fa)

  {

    vis[cr]=;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa)chk_dfs(v,cr);

  }

  void dfs(int cr,int fa)

  {

    dp[cr]=;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa)

    dfs(v,cr), dp[cr]=Mx(dp[cr],dp[v]+);

  }

  void dfsx(int cr,int fa,int tmp)

  {

    if(Mx(dp[cr],tmp)<=L)ts|=bin[cr-];

    int l=tot;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if(col[v=to[i]]&&v!=fa) nd[++tot]=v;

    int r=tot; if(l==r)return;

    pr[l+]=dp[nd[l+]]+;

    for(int i=l+;i<=r;i++)pr[i]=Mx(pr[i-],dp[nd[i]]+);

    sc[r]=dp[nd[r]]+;

    for(int i=r-;i>l;i--)sc[i]=Mx(sc[i+],dp[nd[i]]+);////mx not mn!!!

    for(int i=l+;i<=r;i++)

      {

    int tp=tmp;//=tmp

    if(i>l+)tp=Mx(tp,pr[i-]);if(i<r)tp=Mx(tp,sc[i+]);//mx!!!

    dfsx(nd[i],cr,tp+);

      }

  }

  void fwt(int *a,bool fx)

  {

    for(int R=;R<=len;R<<=)

      for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)

    for(int j=;j<m;j++)

      {

        if(!fx)a[i+j]=upt(a[i+j]+a[i+m+j]);

        else a[i+j]=upt(a[i+j]-a[i+m+j]);

      }

  }

  void solve()

  {

    bin[]=;

    for(int i=;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-]<<;

    for(int s=;s<bin[n];s++)

      {

    for(int i=;i<=n;i++)

      {

        vis[i]=;

        if(s&bin[i-])col[i]=; else col[i]=;

      }

    int cr=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      if(col[i]){chk_dfs(i,);cr=i;break;}

    bool fg=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      if(col[i]&&!vis[i]){fg=;break;}

    if(fg)continue;

    ts=tot=; dfs(cr,); dfsx(cr,,);

    if(ts){f[ts]++; g[ts]++;}

      }

    k--; len=bin[n]; fwt(g,); fwt(f,);

    while(k)

      {

    if(k&)

      {

        for(int i=;i<len;i++)f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;

      }

    for(int i=;i<len;i++)g[i]=(ll)g[i]*g[i]%mod;

    k>>=;

      }

    int ans=; fwt(f,);

    for(int s=;s<bin[n];s++)ans=upt(ans+f[s]);

    printf("%d\n",ans);

  }

}

int main()

{

  freopen("hope.in","r",stdin);

  freopen("hope.out","w",stdout);

  n=rdn();L=rdn();k=rdn();

  for(int i=,u,v;i<n;i++)

    u=rdn(),v=rdn(),add(u,v),add(v,u);

  if(n<=){S1::solve();return ;}

  return ;

}

然后参照题解写了 52 分的。

很重要的转化是令 \( f[i] \) 表示 i 是合法点的救援范围个数，那么 k 个救援范围包含 i 的方案就是 \( f[i]^k \) ；考虑到一个方案的合法点集是连通块，即点数比边数大一，所以令 \( g[i] \) 表示边 i 的两端点是合法点的救援范围个数，答案就是 \( \sum\limits_{i=1}^{n}f[i]^k - \sum\limits_{i=1}^{n-1}g[i]^k \) 。

然后就可以写 n*L 的 DP 了。再把链和 L=n 的部分做一下就有 52 分。

不太会 k=1 时候的长链剖分。

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

int rdn()

{

  int ret=;bool fx=;char ch=getchar();

  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}

  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();

  return fx?ret:-ret;

}

int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;}

int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}

const int N=1e6+,mod=;

int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<)x+=mod;return x;}

int pw(int x,int k)

{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}

int n,L,k,hd[N],xnt=,to[N<<],nxt[N<<],rd[N],f[N],g[N];

void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;rd[y]++;}

namespace S1{

  const int N=;

  int dfs(int cr,int fa,int lm)

  {

    int ret=; if(!lm)return ret;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    ret=(ll)ret*(dfs(v,cr,lm-)+)%mod;

    return ret;

  }

  void dfsx(int cr,int fa)

  {

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    {

      int ret=dfs(cr,v,L-);

      ret=(ll)ret*dfs(v,cr,L-)%mod;

      g[i>>]=ret; dfsx(v,cr);

    }

  }

  void solve()

  {

    for(int i=;i<=n;i++) f[i]=dfs(i,,L);

    dfsx(,); int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++)ans=upt(ans+pw(f[i],k));

    for(int i=;i<n;i++)ans=upt(ans-pw(g[i],k));

    printf("%d\n",ans);

  }

}

namespace S2{

  const int N=1e5+,M=;

  int nd[N],tot;

  struct Node{

    int v[M],s[M],cd;

    void init(){v[]=s[]=;}

    void frs()

    {

      for(int i=;i<=cd;i++)

    s[i]=upt(s[i-]+v[i]);

    }

    void cz()

    {

      cd=Mn(cd+,L);

      for(int i=cd;i;i--)v[i]=v[i-];

      frs();

    }

  }dp[N],pr[N],sc[N],up[N];

  void mrg(Node &d0,Node d1)

  {

    int yc=d0.cd, lm=d1.cd, tc=Mn(L,Mx(yc,lm+));

    d0.cd=tc;

    for(int j=yc+;j<=tc;j++)

      d0.v[j]=, d0.s[j]=d0.s[yc];//0 not 1

    for(int j=;j<=tc;j++)

      {

    int tp;

    if(j-<=lm)tp=d1.s[j-]; else tp=d1.s[lm];

    tp++;///for choosen't

    d0.v[j]=(ll)d0.v[j]*tp%mod;

    if(j-<=lm)

      d0.v[j]=(d0.v[j]+(ll)d0.s[j-]*d1.v[j-])%mod;

      }

    d0.frs();

  }

  void mg2(Node &d0,Node d1)

  {

    int yc=d0.cd, lm=d1.cd, tc=Mn(L,Mx(yc,lm));

    d0.cd=tc;

    for(int j=yc+;j<=tc;j++)

      d0.v[j]=, d0.s[j]=d0.s[yc];//0 not 1

    for(int j=;j<=tc;j++)

      {

    int tp;

    if(j<=lm)tp=d1.s[j]; else tp=d1.s[lm];

    tp++;///for choosen't

    d0.v[j]=(ll)d0.v[j]*tp%mod;

    if(j&&j<=lm)

      d0.v[j]=(d0.v[j]+(ll)d0.s[j-]*d1.v[j])%mod;

      }

    d0.frs();

  }

  void dfs(int cr,int fa)

  {

    dp[cr].init();

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    {

      dfs(v,cr);

      mrg(dp[cr],dp[v]);

    }

  }

  void dfsx(int cr,int fa)

  {

    int tp=up[cr].cd;

    f[cr]=(tp>=L?up[cr].s[L]:up[cr].s[tp]);

    tp=dp[cr].cd;

    f[cr]=(ll)f[cr]*(tp>=L?dp[cr].s[L]:dp[cr].s[tp])%mod;

    int l=tot;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    {

      nd[++tot]=i;

      if(tot==l+)pr[tot].init();

      else pr[tot]=pr[tot-];

      mrg(pr[tot],dp[v]);

    }

    int r=tot;

    for(int i=r;i>l;i--)

      {

    if(i==r)sc[i].init();

    else sc[i]=sc[i+];

    mrg(sc[i],dp[to[nd[i]]]);

      }

    for(int i=l+;i<=r;i++)

      {

    pr[i].v[]=pr[i].s[]=;pr[i].frs();

    sc[i].v[]=sc[i].s[]=;sc[i].frs();

      }

    for(int i=l+;i<=r;i++)

      {

    int v=to[nd[i]],bh=nd[i]>>;

    up[v]=up[cr];

    if(i>l+) mg2(up[v],pr[i-]);

    if(i<r) mg2(up[v],sc[i+]);

    int tp=up[v].cd;

    g[bh]=(tp>=L-?up[v].s[L-]:up[v].s[tp]);

    tp=dp[v].cd;

    g[bh]=(ll)g[bh]*(tp>=L-?dp[v].s[L-]:dp[v].s[tp])%mod;

    up[v].cz();

    dfsx(v,cr);

      }

  }

  void solve()

  {

    dfs(,); up[].init(); dfsx(,);

    int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      ans=upt(ans+pw(f[i],k));

    for(int i=;i<n;i++)

      ans=upt(ans-pw(g[i],k));

    printf("%d\n",ans);

  }

}

namespace S3{

  const int N=2e5+;

  int dp[N],nd[N],pr[N],sc[N],tot;

  void dfs(int cr,int fa)

  {

    dp[cr]=;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    {

      dfs(v,cr); dp[cr]=(ll)dp[cr]*(dp[v]+)%mod;

    }

  }

  void dfsx(int cr,int fa,int tmp)

  {

    f[cr]=(ll)dp[cr]*(tmp+)%mod;

    int l=tot;

    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])

      if((v=to[i])!=fa)

    {

      nd[++tot]=i;

      if(tot==l+)pr[tot]=;

      else pr[tot]=pr[tot-];

      pr[tot]=(ll)pr[tot]*(dp[v]+)%mod;

    }

    int r=tot;

    for(int i=r;i>l;i--)

      {

    if(i==r)sc[i]=;

    else sc[i]=sc[i+];

    sc[i]=(ll)sc[i]*(dp[to[nd[i]]]+)%mod;

      }

    for(int i=l+;i<=r;i++)

      {

    int v=to[nd[i]], tp=tmp+, bh=nd[i]>>;

    if(i>l+)tp=(ll)tp*pr[i-]%mod;

    if(i<r)tp=(ll)tp*sc[i+]%mod;

    g[bh]=(ll)tp*dp[v]%mod;

    dfsx(v,cr,tp);

      }

  }

  void solve()

  {

    dfs(,); dfsx(,,); int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      ans=upt(ans+pw(f[i],k));

    for(int i=;i<n;i++)

      ans=upt(ans-pw(g[i],k));

    printf("%d\n",ans);

  }

}

namespace S4{

  void solve()

  {

    int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++)

      {

    int t0=Mn(L+,i), t1=Mn(L+,n-i+);

    ans=upt(ans+pw((ll)t0*t1%mod,k));

      }

    for(int i=;i<n;i++)

      {

    int t0=Mn(L,i), t1=Mn(L,n-i);

    ans=upt(ans-pw((ll)t0*t1%mod,k));

      }

    printf("%d\n",ans);

  }

}

int main()

{

  n=rdn();L=rdn();k=rdn();

  for(int i=,u,v;i<n;i++)

    { u=rdn();v=rdn();add(u,v);add(v,u);}

  if(n<=){S1::solve();return ;}

  if((ll)n*L<=1e7){S2::solve();return ;}

  if(L==n){S3::solve();return ;}

  bool fg=;

  for(int i=;i<=n;i++)if(rd[i]>){fg=;break;}

  if(!fg){S4::solve();return ;}

  return ;

}

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【题解】Luogu P5291 [十二省联考2019]希望
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