算法设计与分析 1.2 不一样的fibonacci数列
★题目描述
fibonacci 数列的递推公式是F(n) = F(n-1) + F(n-2)(n >= 2 且 n 为整数)。
将这个递推式改为F(n) = aF(n-1) + bF(n-2)(n >= 2 且 n 为整数)时得到的是怎样的数列。
注意,这里我们依然令 F(0)=F(1)=1。
★输入格式
输入第一行三个正整数 q, a, b。
接下来有 q 行,每行一个自然数 n。
对于50%的数据,1 <= q、n <= 1000。
对于80%的数据,1 <= q、n <= 100000。
对于100%的数据,1 <= q <= 100000,1 <= n <= 1000000000,1 <= a、b <= 1000。
★输出格式
对于操作2,输出一个整数,表示对应的元素。
★样例输入
5 4 5
2
4
8
16
32
★样例输出
9
209
1377
182
9
★参考代码
思路参考自共享文件
/*
可以使用递归或用数组+循环的方法
但是这种方法必定超时
所以必须优化,使用矩阵求法
进行公式推导:
f[n] [a b] f[n-1] [a b]^n-1 f[1]
= * = *
f[n-1] [1 0] f[n-2] [1 0] f[0]
所以核心是
[a b]^n-1
[1 0]
现在问题转化为快速求矩阵的幂,原理如下,例如
A8 = A4*A4 = A2*A2*A4 时间降为log(n)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q,a,b;
const int mod=2013;
class Matrix{
private:
int a11,a12,a21,a22;
public:
Matrix(){}
Matrix(int a,int b,int c,int d){
a11=a%mod;
a12=b%mod;
a21=c%mod;
a22=d%mod;
}
Matrix operator *(const Matrix &m){
return Matrix(a11*m.a11+a12*m.a21, a11*m.a12+a12*m.a22,
a21*m.a11+a22*m.a21, a21*m.a12+a22*m.a22);
}
int getRes(){
return (a11*1+a12*1)%mod;
}
};
int fib(int n){
Matrix resM(1,0,0,1); //单元矩阵
Matrix M(a,b,1,0);
while(n>0){
if(n&1) resM = resM*M;//如果n不是偶数
M=M*M;
n>>=1; //n缩小2倍
}
return resM.getRes();
}
int main(){
cin>>q>>a>>b;
int n;
while(q--){
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",fib(n-1));
}
return 0;
}
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