[ CQOI 2018 ] 异或序列
\(\\\)
Description
给出一个长为 \(n\) 的数列 \(A\) 和 \(k\),多次询问:
对于一个区间 \([L_i,R_i]\),问区间内有多少个不为空的子段异或和为 \(k\) 。
- \(n,m,k,A_i\le 10^5\)
\(\\\)
Solution
注意到一件有趣的事,就是每次询问的 \(k\) 相同。
因为 \(a\oplus a=0\),所以子段异或问题可以看作前缀异或和的异或,即
\]
其中 \(sum[i]=a[1]\oplus a[2]\oplus...\oplus a[i]\) 。
那么问题转化为,存在对少对 \(i,j\in[L_i-1,R_i],i!=j\) ,满足
\]
注意区间问题,因为区间做差的原理是减掉 \(l-1\) 。
然后可以注意到,一个值 \(x\) 若想要构成 \(k\) ,其对应的另一个值是固定的。
也就是说,我们的组合方案是确定的。
当新加入一个可选值 \(x\) ,我们的方案数就会 \(+cnt[x^k]\) ,其中 \(cnt[i]\) 表示当前含有可选值 \(i\) 的个数。
可以证明,这种计数方式不会算重,因为每个数字加入时只会计算当前已经有对应的值。
当去掉一个值的时候,方案数 \(-cnt[x^k]\) 即可。
\(\\\)
还有一个问题,就是关于 \(k=0\) 的情况。
此时每个值显然不能计算上自己和自己异或的贡献。
删除时当然也要注意不能多减掉自己异或自己的情况。
只需在 add
和 del
的时候交换一下操作顺序即可,具体看代码。
\(\\\)
Code
突然失智......Debug 2h 竟只是因为 \(l\) 没有减 \(1\) ......
还要注意,刚开始 \(0\) 号位置也有一个贡献。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll rd(){
ll x=0; bool f=0; char c=gc();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
return f?-x:x;
}
ll n,m,k,ans,bl[N],cnt[1<<18],s[N],res[N];
struct Q{ll l,r,id;}q[N];
inline bool cmp1(Q x,Q y){
return bl[x.l]==bl[y.l]?x.r<y.r:bl[x.l]<bl[y.l];
}
inline bool cmp2(Q x,Q y){return x.id<y.id;}
inline void del(int p){
--cnt[s[p]];
ans-=cnt[k^s[p]];
}
inline void add(int p){
ans+=cnt[k^s[p]];
++cnt[s[p]];
}
int main(){
n=rd(); m=rd(); k=rd();
ll t=sqrt(n);
for(R ll i=1;i<=n;++i){
s[i]=s[i-1]^rd();
bl[i]=i/t+1;
}
for(R ll i=1;i<=m;++i){
q[i].l=rd()-1; q[i].r=rd(); q[i].id=i;
}
sort(q+1,q+1+m,cmp1);
ll nowl=0,nowr=0;
cnt[0]=1;
for(R ll i=1;i<=m;++i){
while(nowl>q[i].l){--nowl;add(nowl);}
while(nowl<q[i].l){del(nowl);++nowl;}
while(nowr<q[i].r){++nowr;add(nowr);}
while(nowr>q[i].r){del(nowr);--nowr;}
res[q[i].id]=ans;
}
for(R ll i=1;i<=m;++i) printf("%lld\n",res[i]);
return 0;
}
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