A Horrible Poem （字符串hash+数论）

# 10038. 「一本通 2.1 练习 4」A Horrible Poem

【题目描述】

给出一个由小写英文字母组成的字符串 $S$，再给出 $q$ 个询问，要求回答 $S$ 某个子串的最短循环节。

如果字符串 $B$ 是字符串 $A$ 的循环节，那么 $A$ 可以由 $B$ 重复若干次得到。

【算法】

-首先对于长度为 $len$ 的子串，循环节长度为 $x$ 的充要条件：$[1，len-x]$串的哈希值等于 $[x+1，len]$ 串的哈希值。

-一开始暴力枚举最短循环节长度（n的约数），然后T了一半。

有两种方法进行优化：

1、循环节个数必然是子串各个字母个数和子串长度的公约数，可以枚举循环节个数此时bzoj就能过了，但是loj还是会T。(93分) $O(q\sqrt{n})$

2、正解：假设最短循环节长度为len则原串长度显然为len*k。若只考虑k，并且将k的质因数依次分解，每次试除k，则得到的$k^。$和len的乘积仍是循环节，利用这个性质。依次用质因数 $i$ 试除n，若除去后仍是循环节，说明i属于k，将其除去，结果就留下了len。

【代码1】

#include <bits/stdc++.h>
#define P 131
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
int n,q,a,b,len;
int rec[500010][26];
ULL h[500010],p[500010];
char s[500010];
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while(c>='0'&&c<='9') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
    return x*f;
}
void parse() {
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=p[i-1]*P,h[i]=h[i-1]*P+(ULL)s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=26;j++)
            rec[i][j]=rec[i-1][j]+(s[i]-'a'+1==j);
}
int gcd(int x,int y) {
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
bool valid(int l) {
    return h[b]-h[a+l-1]*p[len-l]==h[a+(len/l-1)*l-1]-h[a-1]*p[len-l];
}
int main() {
    n=read();
    gets(s+1);
    q=read();
    parse();
    while(q--) {
        a=read(),b=read();
        len=b-a+1;
        int num=len,ans=0;
        for(int i=1;i<=26;i++) num=gcd(num,rec[b][i]-rec[a-1][i]);
        for(int i=1;i*i<=num;i++) {
            if(num%i==0) {
                if(valid(len/(num/i))) { ans=max(ans,num/i); break; }
                if(valid(len/i)) ans=max(ans,i);
            }
        }
        printf("%d\n",len/ans);
    }
    return 0;
}

【ac代码】

#include <bits/stdc++.h>
#define N 500010
#define P 131
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
int n,q,len,tot;
ULL h[N],p[N];
int prime[N],minp[N];
char s[N];
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while(c>='0'&&c<='9') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
    return x*f;
}
void parse() {
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!minp[i]) {
            prime[++tot]=i;
            minp[i]=i;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++) {
            if(prime[j]>minp[i]||prime[j]*i>n) break;
            minp[prime[j]*i]=prime[j];
        }
    }
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        h[i]=h[i-1]*P+(ULL)s[i],p[i]=p[i-1]*P;
}
bool valid(int a,int b,int l) {
    return h[b]-h[a+l-1]*p[len-l]==h[a+(len/l-1)*l-1]-h[a-1]*p[len-l];
}
int main() {
    n=read();
    gets(s+1);
    q=read();
    parse();
    while(q--) {
        int a,b,ans,tmp;
        a=read(),b=read();
        len=tmp=ans=b-a+1;
        while(tmp!=1) {
            int t=minp[tmp];
            while(tmp%t==0&&valid(a,b,ans/minp[tmp])) tmp/=t,ans/=t;
            while(tmp%t==0) tmp/=t;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}