0-1背包问题——回溯法求解【Python】

回溯法求解0-1背包问题：

问题：背包大小 w，物品个数 n，每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i]，求放入背包中物品的总价值最大。

回溯法核心：能进则进，进不了则换，换不了则退。（按照条件深度优先搜索，搜到某一步时，发现不是最优或者达不到目标，则退一步重新选择）

注：理论上，回溯法是在一棵树上进行全局搜索，但是并非每种情况都需要全局考虑，毕竟那样效率太低，且通过约束+限界可以减少好多不必要的搜索。

解决本问题思路：使用0/1序列表示物品的放入情况。将搜索看做一棵二叉树，二叉树的第 i 层代表第 i 个物品，若剩余空间允许物品 i 放入背包，扩展左子树。若不可放入背包，判断限界条件，若后续继续扩展有可能取得最优价值，则扩展右子树（即此 i 物品不放入，但是考虑后续的物品）。在层数达到物品的个数时，停止继续扩展，开始回溯。

注：如何回溯呢？怎样得到的，怎样恢复。放入背包中的重量取出，加在bagV上的价值减去。

约束条件：放入背包中物品的总质量小于等于背包容量

限界条件：当前放入背包中物品的总价值（i及之前） + i 之后的物品总价值 < 已知的最优值     这种情况下就没有必要再进行搜索

数据结构： 用一个变量记录当前放入背包的总价值 bagV（已扩展），一个变量记录后续物品的总价值 remainV（未扩展），当前已得到的一种最优值 bestV（全局情况），一个用0/1表示的数组bestArr[]记录哪些物品放入了背包。

核心结构：递归思路进行解决。层层递归，递归到尽头，保留最优值，恢复递归中，层层回溯，即将原来加上去的重量与价值恢复。

# -*- coding:utf-8 -*-

def Backtrack(t):
    global bestV, bagW, bagV,arr, bestArr, cntV

    if t > n: #某次深度优先搜索完成
        if bestV < bagV:
            for i in range(1, n+1):
                bestArr[i] = arr[i]
            bestV = bagV
    else:   #深度优先搜索未完成
        if bagW + listWV[t][0] <= w:    #第t个物品可以放入到背包中，扩展左子树
            arr[t] = True
            bagW += listWV[t][0]
            bagV += listWV[t][1]
            Backtrack(t+1)
            bagW -= listWV[t][0]
            bagV -= listWV[t][1]
        if cntV[t] + bagV > bestV:    #有搜索下去的必要
            arr[t] = False
            Backtrack(t+1)

if __name__ == '__main__':

    w = int(input())    #背包大小
    n = int(input())    #物品个数

    listWV = [[0,0]]
    listTemp = []
    sumW = 0
    sumV = 0

    for i in range(n):
        listTemp = list(map(int, input().split()))  #借助临时list每次新增物品对应的list加入到listWV中
        sumW += listTemp[0]
        sumV += listTemp[1]
        listWV.append(listTemp) #依次输入每个物品的重量与价值

    bestV = 0
    bagW = 0
    bagV = 0
    remainV = sumV
    arr = [False for i in range(n+1)]
    bestArr = [False for i in range(n+1)]

    cntV = [0 for i in range(n+1)]  #求得剩余物品的总价值,cnt[i]表示i+1~n的总价值
    cntV[0] = sumV
    for i in range(1, n+1):
        cntV[i] = cntV[i-1] - listWV[i][1]

    if sumW <= w:
        print(sumV)
    else:
        Backtrack(1)
        print(bestV)
        print(bestArr)
        print(cntV)

检测：

10
5
2 6
5 3
4 5
2 4
3 6

17
[False, True, False, True, False, True]
[24, 18, 15, 10, 6, 0]