ACM之路（19）—— 主席树初探

　　长春赛的 I 题是主席树，现在稍微的学了一点主席树，也就算入了个门吧= =

　　简单的来说主席树就是每个节点上面都是一棵线段树，但是这么多线段树会MLE吧？其实我们解决的办法就是有重复的节点给他利用起来，具体见幻神博客。

　　不妨以1~n上的求任意区间第k小的问题，就是上面博客中所写，我们从1访问到n的预处理中，每一个时间都新建一个线段树，这棵树上记录着已经出现的各个数字，这样我们求[L,R]上的第k小，我们拿R时刻的线段树减去(L-1)时刻的线段树，就是这个区间内需要的线段树，这个线段树上存在的数字其实就是[L,R]上存在的数字，我们在这里寻找我们需要的第k小就可以了。具体实现方法见上面的博客。

　　我自己的模板如下：

 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #define t_mid (l+r>>1)
 using namespace std;
 const int N =  + ;
 
 int n,q,tot,sz;
 int a[N],b[N];
 int rt[N*],sum[N*],ls[N*],rs[N*];
 void build(int &o,int l,int r)
 {
     o = ++tot;
     sum[o] = ;
     if(l==r) return;
     build(ls[o],l,t_mid);
     build(rs[o],t_mid+,r);
 }
 
 void update(int &o,int l,int r,int last,int p)
 {
     o = ++tot;
     ls[o] = ls[last];
     rs[o] = rs[last];
     sum[o] = sum[last] + ;
     if(l==r) return;
     if(p <= t_mid) update(ls[o],l,t_mid,ls[last],p);
     else update(rs[o],t_mid+,r,rs[last],p);
 }
 
 int query(int ql,int qr,int l,int r,int k)
 {
     if(l==r) return l;
     int cnt = sum[ls[qr]] - sum[ls[ql]];
     if(cnt >= k) return query(ls[ql],ls[qr],l,t_mid,k);
     else return query(rs[ql],rs[qr],t_mid+,r,k-cnt);
 }
 
 void work()
 {
     int ql,qr,k;
     scanf("%d%d%d",&ql,&qr,&k);
     int ans = query(rt[ql-],rt[qr],,sz,k);
     printf("%d\n",b[ans]);
 }
 
 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&q)==)
     {
         tot = ;
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),b[i]=a[i];
         sort(b+,b++n);
         sz = unique(b+,b++n) - (b+);
         build(rt[],,sz);
 
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int t = lower_bound(b+,b++sz,a[i]) - b;
             update(rt[i],,sz,rt[i-],t);
         }
         while(q--) work();
     }
 }

求区间第K小

　　然后如果是在一棵树上，求其一条链上的区间第k小呢？其实也差不多，我们就想着怎么把这棵需要的线段树抽取出来就行。这棵树实际上就是 u - lca(u,v) + v - father(lca(u,v))。具体的画画图就可以懂了。这里还涉及到求LCA的方法，具体方法见《挑战程序设计》中的倍增法求LCA即可。

　　我自己的模板如下：

 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #include <vector>
 #include <math.h>
 #define t_mid (l+r>>1)
 using namespace std;
 const int N =  + ;
 const int MAX_LOG_N =  + ;
 
 int n,q,tot,sz;
 int a[N],b[N];
 int rt[N*],sum[N*],ls[N*],rs[N*];
 int parent[MAX_LOG_N][N],depth[N];
 vector<int> G[N];
 
 void getDepth(int v,int p,int d)
 {
     parent[][v] = p;
     depth[v] = d;
     for(int i=;i<G[v].size();i++)
     {
         if(G[v][i] != p) getDepth(G[v][i],v,d+);
     }
 }
 
 void init()
 {
     getDepth(,-,);
     for(int k=;k+<MAX_LOG_N;k++)
     {
         for(int v=;v<=n;v++)
         {
             if(parent[k][v] < ) parent[k+][v] = -;
             else parent[k+][v] = parent[k][parent[k][v]];
         }
     }
 }
 
 int lca(int u,int v)
 {
     if(depth[u]>depth[v]) swap(u,v);
     for(int k=;k<MAX_LOG_N;k++)
     {
         if((depth[v]-depth[u]) >> k & )
         {
             v = parent[k][v];
         }
     }
     if(u==v) return u;
     for(int k=MAX_LOG_N-;k>=;k--)
     {
         if(parent[k][u] != parent[k][v])
         {
             u = parent[k][u];
             v = parent[k][v];
         }
     }
     return parent[][u];
 }
 
 void build(int &o,int l,int r)
 {
     o = ++tot;
     sum[o] = ;
     if(l==r) return;
     build(ls[o],l,t_mid);
     build(rs[o],t_mid+,r);
 }
 
 void update(int &o,int l,int r,int last,int p)
 {
     o = ++tot;
     ls[o] = ls[last];
     rs[o] = rs[last];
     sum[o] = sum[last] + ;
     if(l==r) return;
     if(p <= t_mid) update(ls[o],l,t_mid,ls[last],p);
     else update(rs[o],t_mid+,r,rs[last],p);
 }
 
 int query(int u,int v,int x,int y,int l,int r,int k)
 {
     if(l==r) return l;
     int cnt = sum[ls[u]] + sum[ls[v]] - sum[ls[x]] - sum[ls[y]];
     if(cnt >= k) return query(ls[u],ls[v],ls[x],ls[y],l,t_mid,k);
     else return query(rs[u],rs[v],rs[x],rs[y],t_mid+,r,k-cnt);
 }
 
 void work()
 {
     int u,v,k;
     scanf("%d%d%d",&u,&v,&k);
     int _lca = lca(u,v);
     int _lca_fa = parent[][_lca];
     int ans = query(rt[u],rt[v],rt[_lca],rt[_lca_fa],,sz,k);
     printf("%d\n",b[ans]);
 }
 
 void dfs(int u,int fa)
 {
     for(int i=;i<G[u].size();i++)
     {
         int v = G[u][i];
         if(v==fa) continue;
         int t = lower_bound(b+,b++sz,a[v]) - b;
         update(rt[v],,sz,rt[u],t);
         dfs(v,u);
     }
 }
 
 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&q)==)
     {
         tot = ;
         for(int i=;i<=n;i++) G[i].clear();
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),b[i]=a[i];
         sort(b+,b++n);
         sz = unique(b+,b++n) - (b+);
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
             G[u].push_back(v);
             G[v].push_back(u);
         }
         build(rt[],,sz);
         init();
 
         int t = lower_bound(b+,b++sz,a[]) - b;
         update(rt[],,sz,rt[],t);
         dfs(,-);
 
         while(q--) work();
     }
 }

求树上的一条链的第K小

　　好，接下来就是解决那个烦人的 I 题了。

　　我们首先需要用主席树来解决区间内不同的数的个数，这东西比较奥义- -直接上模板好了。。反正随便百度一下"主席树求区间内不同数的个数"都会出来spoj的D-query那题，随便看下原理就行= =。。。然后用二分解决 I 题（固定左端点，二分右端点，具体见代码。。）。

　　看我直接丢 I 题的代码~：

 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 #include <string.h>
 #include <map>
 #define t_mid (l+r>>1)
 using namespace std;
 const int N = * + ;
 
 int rt[N**],sum[N**],ls[N**],rs[N**];
 int a[N],n,m,tot;
 void build(int &o,int l,int r)
 {
     o = ++tot;
     sum[o] = ;
     if(l == r) return;
     build(ls[o],l,t_mid);
     build(rs[o],t_mid+,r);
 }
 
 void update(int &o,int l,int r,int last,int pos,int dt)
 {
     o = ++tot;
     sum[o] = sum[last];
     ls[o] = ls[last];
     rs[o] = rs[last];
     if(l==r) {sum[o]+=dt;return;}
     if(pos <= t_mid) update(ls[o],l,t_mid,ls[last],pos,dt);
     else update(rs[o],t_mid+,r,rs[last],pos,dt);
     sum[o] = sum[ls[o]] + sum[rs[o]];
 }
 
 int query(int l,int r,int o,int pos)
 {
     if(l == r) return sum[o];
     if(pos <= t_mid) return sum[rs[o]] + query(l,t_mid,ls[o],pos);
     else return query(t_mid+,r,rs[o],pos);
 }
 
 /*
 int query(int l,int r,int L,int R,int x){
     if(L <= l && r <= R) return sum[x];
     int mid = (l+r) >> 1 , ret = 0;
     if(L <= mid) ret += query(l,mid,L,R,ls[x]);
     if(R > mid) ret += query(mid+1,r,L,R,rs[x]);
     return ret;
 }
 */
 
 int main()
 {
     int T;scanf("%d",&T);
     for(int kase=;kase<=T;kase++)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         int pre = ;
         map<int,int> mp;
         tot = ;
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
         build(rt[],,n);
 
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(mp.find(a[i]) == mp.end())
             {
                 mp[a[i]] = i;
                 update(rt[i],,n,rt[i-],i,);
             }
             else
             {
                 int temp = ;
                 update(temp,,n,rt[i-],mp[a[i]],-);
                 update(rt[i],,n,temp,i,);
             }
             mp[a[i]] = i;
         }
         //scanf("%d",&m);
         printf("Case #%d:",kase);
         while(m--)
         {
             int ql,qr;scanf("%d%d",&ql,&qr);
             int L = min((ql+pre)%n+,(qr+pre)%n+);
             int R = max((ql+pre)%n+,(qr+pre)%n+);
             //L = ql, R = qr;
             int k = (query(,n,rt[R],L)+)>>;
             int l = L, r = R;
             //printf("!! %d %d \n",L,R);
             int ans = -;
             while(l<=r)
             {
                 int mid = l + r >> ;
                 int t = query(,n,rt[mid],L);
                 //printf("mid is %d %d\n",mid,t);
                 if(t < k) l = mid + ;
                 else
                 {
                     r = mid - ;
                     ans = mid;
                 }
             }
             /*while(l < r)
             {
                 int mid = l + r >> 1;
                 int t = query(1,n,rt[mid],L);
                 if(t < k) l = mid + 1;
                 else r = mid;
             }*/
 
             printf(" %d",ans);
             pre = ans;
         }
         puts("");
     }
 }
 
 /*
 100
 20 100
 1 2 3 4 3 2 1 2 4 2 2 3 1 2 3 1 4 4 2 1
 1 20
 1 10
 2 5
 4 6
 3 2
 4 7
 
 100
 5 100
 0 1 0 2 3
 1 5
 */
 /*
 #include<iostream>
 //#include<bits/stdc++.h>
 #include<cstdio>
 #include<string>
 #include<cstring>
 #include<map>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<stack>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #define showtime fprintf(stderr,"time = %.15f\n",clock() / (double)CLOCKS_PER_SEC)
 //#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef long long LL;
 #define MP make_pair
 #define PII pair<int,int>
 #define PLI pair<long long ,int>
 #define PFI pair<double,int>
 #define PLL pair<ll,ll>
 #define PB push_back
 #define F first
 #define S second
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define debug cout<<"?????"<<endl;
 //freopen("1005.in","r",stdin);
 //freopen("data.out","w",stdout);
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const double eps = 1e-2;
 const int N = 4e5 + 50 ;
 const double PI = acos(-1.);
 const double E = 2.71828182845904523536;
 const int MOD = 1e9+7;
 typedef vector<ll> Vec;
 typedef vector<Vec> Mat;
 int n,m;
 struct node{int l,r,sum;}T[N*40];
 int a[N],root[N],pre[N],tot;
 int q,x,y;
 int ans[N];
 vector<int> v;
 int getid(int x){ return lower_bound(v.begin(),v.end(),x) - v.begin() + 1;}
 void init(){
     tot = 0;
     memset(root,0,sizeof(root));
     memset(pre,-1,sizeof(pre));
     v.clear();
 }
 void update(int l,int r,int val,int &x,int y,int pos){
     T[++tot] = T[y] , T[tot].sum += val , x = tot;
     if(l == r) return ;
     int mid = (l + r) >> 1;
     if(pos <= mid) update(l,mid,val,T[x].l,T[y].l,pos);
     else update(mid+1,r,val,T[x].r,T[y].r,pos);
 }
 **
  *        【x=L,y=R】 不同数字的有多少个
  *        query(1,n,x,y,root[y]);  第y颗树。
  *
 int query(int l,int r,int L,int R,int x){
     if(L <= l && r <= R) return T[x].sum;
     int mid = (l+r) >> 1 , ret = 0;
     if(L <= mid) ret += query(l,mid,L,R,T[x].l);
     if(R > mid) ret += query(mid+1,r,L,R,T[x].r);
     return ret;
 }
 int main(){
     int kase = 1,T;
     cin >> T;
     while(T --){
         cin >> n >> m;
         init();
         for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) scanf("%d",&a[i]) , v.push_back(a[i]);
         sort(v.begin(),v.end());
         v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
         for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
             int id = getid(a[i]);
             if(pre[id] == -1){
                 update(1,n,1,root[i],root[i-1],i);
                 pre[id] = i;
             }else{
                 int tmp;
                 update(1,n,-1,tmp,root[i-1],pre[id]);
                 update(1,n,1,root[i],tmp,i);
                 pre[id] = i;
             }
         }
         ans[0] = 0;
         printf("Case #%d:",kase ++);
         for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             int l,r;
             l = min((x+ans[i-1])%n+1,(y+ans[i-1])%n+1);
             r = max((x+ans[i-1])%n+1,(y+ans[i-1])%n+1);
             //l = x ; r = y;
             //printf("%d %d !!\n",l,r);
             int k = (query(1,n,l,r,root[r])+1) / 2;
             int ll = l , rr = r;
             while(ll < rr){
                 int mid = (ll + rr) / 2;
                 int t = query(1,n,l,mid,root[mid]);
                 if(t < k) ll = mid+1;
                 else rr = mid;
             }
             printf(" %d",rr);
             ans[i] = rr;
         }
         puts("");
     }
     return 0;
 }
 */

长春 I 题

　　有几点想说明的：1.下面注释的是大力的代码，但是超时了，因为他的query方法和我的有点小差别，虽然都能实现需要的功能，但是似乎我的query方法复杂度更小一点（？？）。。不过我的也是卡过的，但是我觉得在长春现场赛的话应该能过，感觉HDU的评测机这次有点坑。。2.我的代码本来是WA的，因为数组开小了，我上面的两个代码都是*20的，都没问题，这里必须要开*40的才行，被坑了这一次以后我下次都开大一点的好了，反正*40内存也够用= =。。那么主席树就写到这里好了，以后刷了题目有什么要补充的再补充好了~（话说我的数据结构真的好烂啊，，以后搞splay怎么办啊233。。）