Luogu5021 [NOIP2018]赛道修建

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一棵大小为 \(n\) 的树，边带权。选 \(m\) 条链使得长度和最小的链最大。

\(m<n\leq5\times10^4\)

贪心，二分答案

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最小最大？二分

先看部分分

• 菊花图

  二分答案，顺序贪心匹配。

• 二叉树

  每个节点两种情况，选一个儿子往上算贡献，两个儿子合成一条链。

于是可以将两种做法结合

对于每个节点，往上算贡献、贪心匹配两个儿子

至于实现，可以考虑 \(multiset\) ，也可以排序+二分

时间复杂度 \(O(n\log^2n)\) ，空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
int n, m, mid, h[maxn];
multiset <int> s;

struct edges {
  int nxt, to, w;
  edges(int x = 0, int y = 0, int z = 0) :
    nxt(x), to(y), w(z) {}
} e[maxn << 1];

void addline(int u, int v, int w) {
  static int cnt;
  e[++cnt] = edges(h[u], v, w), h[u] = cnt;
  e[++cnt] = edges(h[v], u, w), h[v] = cnt;
}

int dfs(int u, int f, int& l) {
  int res = 0;
  for (int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
    int v = e[i].to;
    if (v != f) {
      int tmp;
      res += dfs(v, u, tmp);
      if ((tmp += e[i].w) < mid) {
        s.insert(tmp);
      } else {
        res++;
      }
    }
  }
  l = 0;
  while (!s.empty()) {
    int tmp = *s.begin();
    s.erase(s.begin());
    auto it = s.lower_bound(mid - tmp);
    if (it != s.end()) {
      s.erase(it), res++;
    } else {
      l = max(l, tmp);
    }
  }
  return res;
}

int main() {
  int sum = 0;
  scanf("%d %d", &n, &m);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v, w;
    scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
    addline(u, v, w), sum += w;
  }
  int l = 1, r = sum, res, tmp;
  while (l <= r) {
    mid = (l + r) >> 1;
    dfs(1, 0, tmp) < m ? r = mid - 1 : l = (res = mid) + 1;
  }
  printf("%d", res);
  return 0;
}