2D情况下，复数的意义代表旋转

4 x i x i = - 4
就是“4”在数轴上旋转了180度。
那么4 x i = 4i 就旋转了90度。
复数的意义就表示旋转

乘以-1，表示x正半轴的数，围绕原点，逆时针偏转180°，落到x负半轴；
乘以i，表示x正半轴的数，围绕原点，逆时针偏转90°，落到y正半轴；
乘以-i，表示从x正半轴，围绕原点，逆时针偏转270°，落到y负半轴。
(所以你看，这就是i∧2的由来，旋转(乘)了两个“i”，就是旋转(乘)了一个“-1”。
(作者：Garvey
链接：https://www.zhihu.com/question/23234701/answer/78092155
来源：知乎
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一个复数就是一个能把平面进行均匀缩放和旋转的乘子。复数就是二维向量空间。复数
r =r(cosωt + i sinωt)
与二维矢量函数
r =r(i cosωt + j sinωt)
等价，可表示两个相伴随的正交振荡的矢量和（圆运动）。

复数表示复平面（二维平面）上的一个旋转， 旋量也可表示为复数的。

转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_3ece1f640102xylu.html