2018.10.25 洛谷P4187 [USACO18JAN]Stamp Painting（计数dp）

传送门

其实本来想做组合数学的2333.

谁知道是道dpdpdp.

唉只能顺手做了

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还是用真难则反的思想。

这题我们倒着考虑，只需要求出不合法方案数就行了。

这个显然是随便dpdpdp的。

f[i]f[i]f[i]表示到第iii个格子不合法的方案数。

那么有两种情况。

1. i&lt;ki&lt;ki<k，则无论怎么当前格子染都不合法，f[i]=f[i−1]∗mf[i]=f[i-1]*mf[i]=f[i−1]∗m
2. i≥ki\geq ki≥k，则从当前的格子向左染最多染到第i−k+1i-k+1i−k+1个格子，因此f[i]=(m−1)∑j=i−k+1i−1f[i]f[i]=(m-1)\sum _{j=i-k+1} ^{i-1}f[i]f[i]=(m−1)∑j=i−k+1i−1​f[i]

维护一个动态的前缀和来转移就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
int n,m,k,f[N];
int main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	f[0]=1;
	int sum=0,ans=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)ans=1ll*ans*m%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(i<k)f[i]=1ll*f[i-1]*m%mod;
		else f[i]=1ll*sum*(m-1)%mod;
		sum+=f[i];
		if(sum>=mod)sum-=mod;
		if(i>=k){
			sum-=f[i-k+1];
			if(sum<0)sum+=mod;
		}
	}
	ans-=f[n];
	if(ans<0)ans+=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}