DP：0

小故事：

A * "1+1+1+1+1+1+1+1 =？" *

A : "上面等式的值是多少"
B : *计算* "8!"

A *在上面等式的左边写上 "1+" *
A : "此时等式的值为多少"
B : *quickly* "9!"
A : "你怎么这么快就知道答案了"
A : "只要在8的基础上加1就行了"
A : "所以你不用重新计算因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"
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特性：

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

解题步骤：
1.  拆分问题
2.  定义状态(并找出初状态)
3.  状态转移方程

DP算法的两种形式：

上面已经知道动态规划算法的核心是记住已经求过的解，记住求解的方式有两种：①自顶向下的备忘录法 ②自底向上。 
举一个最简单的例子：求斐波拉契数列Fibonacci 。

Fibonacci (n) = ;   n =
Fibonacci (n) = ;   n =
Fibonacci (n) = Fibonacci(n-) + Fibonacci(n-)

0.递归版本

public int fib(int n)
{
    if(n<=)
        return ;
    if(n==)
        return ;
    return fib( n-)+fib(n-);
}

递归树

很多节点（如fib(2)）被执行。

 1.自顶向下的备忘录法

public static int Fibonacci(int n)
{
        if(n<=)
            return n;
        int []Memo=new int[n+];
        for(int i=;i<=n;i++)
            Memo[i]=-;
        return fib(n, Memo);
}
public static int fib(int n,int []Memo)
{

        if(Memo[n]!=-)
            return Memo[n];
    //如果已经求出了fib（n）的值直接返回，否则将求出的值保存在Memo备忘录中。
        if(n<=)
            Memo[n]=;

        else Memo[n]=fib( n-,Memo)+fib(n-,Memo);  

        return Memo[n];
}

理解：创建了一个n+1大小的数组来保存求出的斐波拉契数列中的每一个值，在递归的时候如果发现前面fib（n）的值计算出来了就不再计算，如果未计算出来，则计算出来后保存在Memo数组中，下次在调用fib（n）的时候就不会重新递归了。比如上面的递归树中在计算fib（6）的时候先计算fib（5），调用fib（5）算出了fib（4）后，fib（6）再调用fib（4）就不会在递归fib（4）的子树了，因为fib（4）的值已经保存在Memo[4]中。

2.自底向上

public static int fib(int n)
{
        if(n<=)
            return n;
        int []Memo=new int[n+];
        Memo[]=;
        Memo[]=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            Memo[i]=Memo[i-]+Memo[i-];
        }
        return Memo[n];
}

自底向上方法也是利用数组保存了先计算的值，为后面的调用服务。观察参与循环的只有 i，i-1 , i-2三项，因此该方法的空间可以进一步的压缩如下。

public static int fib(int n)
    {
        if(n<=)
            return n;

        int Memo_i_2=;
        int Memo_i_1=;
        int Memo_i=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            Memo_i=Memo_i_2+Memo_i_1;
            Memo_i_2=Memo_i_1;
            Memo_i_1=Memo_i;
        }
        return Memo_i;
    }

一般来说由于备忘录方式的动态规划方法使用了递归，递归的时候会产生额外的开销，使用自底向上的动态规划方法要比备忘录方法好。

动态规划题集整理

  1、递推

Recursion Practice                              ★☆☆☆☆          几个初级递推
        Put Apple                                       ★☆☆☆☆

Tri Tiling                                      ★☆☆☆☆          【例题1】
        Computer Transformation                         ★☆☆☆☆          【例题2】
        Train Problem II                                ★☆☆☆☆          
        How Many Trees?                                 ★☆☆☆☆          
        Buy the Ticket                                  ★☆☆☆☆          
        Game of Connections                             ★☆☆☆☆
        Count the Trees                                 ★☆☆☆☆
        Circle                                          ★☆☆☆☆
        Combinations, Once Again                        ★★☆☆☆
        Closing Ceremony of Sunny Cup                   ★★☆☆☆           
        Rooted Trees Problem                            ★★☆☆☆          
        Water Treatment Plants                          ★★☆☆☆           
        One Person                                      ★★☆☆☆
        Relax! It’s just a game                        ★★☆☆☆
        N Knight                                        ★★★☆☆
        Connected Graph                                 ★★★★★          楼天城“男人八题”之一

   2、记忆化搜索

Function Run Fun                                ★☆☆☆☆          【例题3】

FatMouse and Cheese                             ★☆☆☆☆          经典迷宫问题

Cheapest Palindrome                             ★★☆☆☆

A Mini Locomotive                               ★★☆☆☆

Millenium Leapcow                               ★★☆☆☆

Brackets Sequence                               ★★★☆☆          经典记忆化

Chessboard Cutting                              ★★★☆☆          《算法艺术和信息学竞赛》例题

Number Cutting Game                             ★★★☆☆

   3、最长单调子序列

Constructing Roads In JG Kingdom                ★★☆☆☆

Stock Exchange                                  ★★☆☆☆

Wooden Sticks                                   ★★☆☆☆

Bridging signals                                ★★☆☆☆

BUY LOW, BUY LOWER                              ★★☆☆☆         要求需要输出方案数

Longest Ordered Subsequence                     ★★☆☆☆

Crossed Matchings                               ★★☆☆☆

Jack's struggle                                 ★★★☆☆          稍微做点转化

   4、最大M子段和

Max Sum                                         ★☆☆☆☆              最大子段和

Max Sum Plus Plus                               ★★☆☆☆              最大M子段和

To The Max                                      ★★☆☆☆              最大子矩阵

Max Sequence                                    ★★☆☆☆              最大2子段和

Maximum sum                                     ★★☆☆☆              最大2子段和

最大连续子序列                                  ★★☆☆☆              最大子段和

Largest Rectangle in a Histogram                ★★☆☆☆              最大子矩阵变形

City Game                                       ★★☆☆☆              最大子矩阵扩展

Matrix Swapping II                              ★★★☆☆              最大子矩阵变形后扩展

   5、线性模型

Skiing                                          ★☆☆☆☆

Super Jumping! Jumping! Jumping!                ★☆☆☆☆

Milking Time                                    ★★☆☆☆         区间问题的线性模型

Computers                                       ★★☆☆☆         【例题5】

Bridge over a rough river                       ★★★☆☆         【例题6】

Crossing River                                  ★★★☆☆         【例题6】大数据版

Blocks                                          ★★★☆☆

Parallel Expectations                           ★★★★☆         线性模型黑书案例

       6、区间模型

Palindrome                                      ★☆☆☆☆         【例题7】

See Palindrome Again                            ★★★☆☆

       7、背包模型

饭卡                                            ★☆☆☆☆              01背包

I NEED A OFFER!                                 ★☆☆☆☆              概率转化

Bone Collector                                  ★☆☆☆☆              01背包

最大报销额                                      ★☆☆☆☆              01背包

Duty Free Shop                                  ★★☆☆☆              01背包

Robberies                                       ★★☆☆☆              【例题8】

Piggy-Bank                                      ★☆☆☆☆              完全背包

Cash Machine                                    ★☆☆☆☆              多重背包

Coins                                           ★★☆☆☆              多重背包，楼天城“男人八题”之一

I love sneakers!                                ★★★☆☆              背包变形

       8、状态压缩模型

ChessboardProblem                               ★☆☆☆☆              比较基础的状态压缩

Number of Locks                                 ★☆☆☆☆              简单状态压缩问题

Islands and Bridges                             ★★☆☆☆              【例题9】

Tiling a Grid With Dominoes                     ★★☆☆☆              骨牌铺方格 4XN的情况

Mondriaan's Dream                               ★★☆☆☆              【例题10】的简易版

Renovation Problem                              ★★☆☆☆              简单摆放问题

The Number of set                               ★★☆☆☆

Hardwood floor                                  ★★★☆☆              【例题10】二进制状态压缩鼻祖

Tetris Comes Back                               ★★★☆☆              纸老虎题

Bugs Integrated, Inc.                           ★★★☆☆              三进制状态压缩鼻祖

Another Chocolate Maniac                        ★★★☆☆              三进制

Emplacement                                     ★★★☆☆              类似Bugs那题，三进制

Toy bricks                                      ★★★☆☆              四进制， 左移运算高于&

Quad Tiling                                     ★★★☆☆              骨牌铺方格 4XN的情况 利用矩阵优化

Eat the Trees                                   ★★★☆☆              插头DP入门题

Formula 1                                       ★★★☆☆              插头DP入门题

The Hive II                                     ★★★☆☆              插头DP

Plan                                            ★★★☆☆              插头DP

Manhattan Wiring                                ★★★☆☆              插头DP

Pandora adventure                               ★★★★☆              插头DP

Tony's Tour                                     ★★★★☆              插头DP，楼天城“男人八题”之一

Pipes                                           ★★★★☆              插头DP

circuits                                        ★★★★☆              插头DP

Beautiful Meadow                                ★★★★☆              插头DP

I-country                                       ★★★★☆              高维状态表示

Permutaion                                      ★★★★☆              牛逼的状态表示

01-K Code                                       ★★★★☆

Tour in the Castle                              ★★★★★              插头DP（难）

The Floor Bricks                                ★★★★★              四进制（需要优化）

       9、树状模型

Anniversary party                               ★☆☆☆☆              树形DP入门

Strategic game                                  ★☆☆☆☆              树形DP入门

Computer                                        ★★☆☆☆

Long Live the Queen                             ★★☆☆☆

最优连通子集                                    ★★☆☆☆

Computer Network                                ★★☆☆☆

Rebuilding Roads                                ★★★☆☆              树形DP+背包

New Year Bonus Grant                            ★★★☆☆

How Many Paths Are There                        ★★★☆☆

Intermediate Rounds for Multicast               ★★★★☆

Fire                                            ★★★★☆

Walking Race                                    ★★★★☆

Tree                                            ★★★★★              树形DP，楼天城“男人八题”之一

        10、滚动数组优化常见问题

Palindrome                                      ★☆☆☆☆

Telephone Wire                                  ★☆☆☆☆

Gangsters                                       ★☆☆☆☆

Dominoes                                        ★☆☆☆☆

Cow Exhibition                                  ★☆☆☆☆

Supermarket                                     ★★☆☆☆

        11、决策单调性

Print Article                                   ★★★☆☆

Lawrence                                        ★★★☆☆

Batch Scheduling                                ★★★☆☆

K-Anonymous Sequence                            ★★★☆☆

Cut the Sequence                                ★★★☆☆

        12、常用优化

Divisibility                                    ★★☆☆☆        利用同余性质

Magic Multiplying Machine                       ★★☆☆☆        利用同余性质

Moving Computer                                 ★★☆☆☆        散列HASH表示状态

Post Office                                     ★★★☆☆        四边形不等式

Minimizing maximizer                            ★★★☆☆        线段树优化

Man Down                                        ★★★☆☆        线段树优化

So you want to be a 2n-aire?                    ★★★☆☆        期望问题

Expected Allowance                              ★★★☆☆        期望问题

Greatest Common Increase Subseq                 ★★★☆☆        二维线段树优化

Traversal                                       ★★★☆☆        树状数组优化

Find the nondecreasing subsequences             ★★★☆☆        树状数组优化

Not Too Convex Hull                             ★★★★☆        利用凸包进行状态转移

In Action                                       ★★★☆☆        最短路+背包

Search of Concatenated Strings                  ★★★☆☆        STL bitset 应用

        13、其他类型的动态规划

Common Subsequence                              2D/0D

Advanced Fruits                                 2D/0D

Travel                                          2D/1D

RIPOFF                                          2D/1D

Balls                                           2D/1D

Projects                                        2D/1D

Cow Roller Coaster                              2D/1D

LITTLE SHOP OF FLOWERS                          2D/1D

Pearls                                          2D/1D

Spiderman                                       2D/0D

The Triangle                        2D/0D

Triangles                           2D/0D

Magazine Delivery                     3D/0D

Tourist                             3D/0D

Rectangle                           2D/1D

Message                             2D/1D

Bigger is Better                      2D/1D

Girl Friend II                       2D/1D

Phalanx                             2D/1D

Spiderman                           最坏复杂度O(NK)，K最大为1000000，呵呵

Find a path                                     3D/1D 公式简化，N维不能解决的问题试着用N+1维来求解