解题：SDOI 2014 数表

题面

为了好写式子，先不管$a$的限制

设$facs$为因子和，那么有

$ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mfacs(gcd(i,j))$

再设$f(k)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]$

熟悉的东西，再写一遍=。=

$f(k)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]$

$=\sum\limits_{i=1}^{min(\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor)}μ(i)\left\lfloor\frac{n}{ik}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{ik}\right\rfloor$

$\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}[k|i]μ(\frac{i}{k})\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor$

那么

$ans=\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}facs(i)f(i)$

$=\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}facs(i)\sum_{d|i}μ(\frac{i}{d})\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor$

$=\sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor\sum_{d|i}facs(d)μ(\frac{i}{d})$

预处理后面的那个东西，前面的每次$O(\sqrt n)$回答

等等还有$a$的限制

先读进来按$a$排序，然后依次插入后面那个函数值，也就是单点修改+区间查询，树状数组解决

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,M=1e5,Mod=;
 struct a
 {
     int n,m,a;
     int idx,ans;
 }qry[N];
 struct b
 {
     int f,idx;
 }sum[N];
 int npr[N],pri[N],mul[N],bit[N],T,p,cnt;
 bool cmp(a x,a y)
 {
     return x.a<y.a;
 }
 bool com(b x,b y)
 {
     return x.f<y.f;
 }
 bool cpr(a x,a y)
 {
     return x.idx<y.idx;
 }
 void Add(int pos,int tsk)
 {
     while(pos<=M)
         bit[pos]+=tsk,pos+=pos&-pos;
 }
 int Query(int pos)
 {
     int ret=;
     while(pos)
         ret+=bit[pos],pos-=pos&-pos;
     return ret;
 }
 void Prework()
 {
     npr[]=true,mul[]=,p=;
     for(int i=;i<=M;i++)
     {
         if(!npr[i]) pri[++cnt]=i,mul[i]=-;
         for(int j=;j<=cnt&&i*pri[j]<=M;j++)
         {
             npr[i*pri[j]]=true;
             if(i%pri[j]==) break;
             else mul[i*pri[j]]=-mul[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=M;i++) sum[i].idx=i;
     for(int i=;i<=M;i++)
         for(int j=i;j<=M;j+=i) sum[j].f+=i;
 }
 int Solve(int n,int m)
 {
     int ret=;
     if(n>m) swap(n,m);
     for(int i=,j;i<=n;i=j+)
     {
         j=min(n/(n/i),m/(m/i));
         ret+=(n/i)*(m/i)*(Query(j)-Query(i-));
     }
     return ret&Mod;
 }
 int main()
 {
     Prework();
     scanf("%d",&T);
     for(int i=;i<=T;i++)
         scanf("%d%d%d",&qry[i].n,&qry[i].m,&qry[i].a),qry[i].idx=i;
     sort(qry+,qry++T,cmp);
     sort(sum+,sum++M,com);
     for(int i=;i<=T;i++)
     {
         while(p<=M&&sum[p].f<=qry[i].a)
         {
             for(int j=sum[p].idx;j<=M;j+=sum[p].idx)
                 Add(j,mul[j/sum[p].idx]*sum[p].f); p++;
         }
         qry[i].ans=Solve(qry[i].n,qry[i].m);
     }
     sort(qry+,qry++T,cpr);
     for(int i=;i<=T;i++) printf("%d\n",qry[i].ans);
     return ;
 }