B+树 -- Java实现

一、B+树定义

B+树定义：关键字个数比孩子结点个数小1的树。

除此之外B+树还有以下的要求：

1. B+树包含2种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。

2. B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。

3. m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字（或者说内部结点最多有m个子树），阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。

4. 内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。

5. 每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

二、B+树的插入操作

1）若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。

2）针对叶子类型结点：根据key值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第3步。

3）针对索引类型结点：若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个key，右结点包含m-(m-1)/2个key，将第m/2个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步。

下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

a）空树中插入5

b）依次插入8，10，15

c）插入16

插入16后超过了关键字的个数限制，所以要进行分裂。在叶子结点分裂时，分裂出来的左结点2个记录，右边3个记录，中间key成为索引结点中的key，分裂后当前结点指向了父结点（根结点）。结果如下图所示。

当然我们还有另一种分裂方式，给左结点3个记录，右结点2个记录，此时索引结点中的key就变为15。

d）插入17

e）插入18，插入后如下图所示

当前结点的关键字个数大于5，进行分裂。分裂成两个结点，左结点2个记录，右结点3个记录，关键字16进位到父结点（索引类型）中，将当前结点的指针指向父结点。

当前结点的关键字个数满足条件，插入结束

f）插入若干数据后

g）在上图中插入7，结果如下图所示

当前结点的关键字个数超过4，需要分裂。左结点2个记录，右结点3个记录。分裂后关键字7进入到父结点中，将当前结点的指针指向父结点，结果如下图所示。

当前结点的关键字个数超过4，需要继续分裂。左结点2个关键字，右结点2个关键字，关键字16进入到父结点中，将当前结点指向父结点，结果如下图所示。

当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。

三、B+树的删除操作

如果叶子结点中没有相应的key，则删除失败。否则执行下面的步骤

1）删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，删除操作结束,否则执行第2步。

2）若兄弟结点key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的key替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的key，删除结束。否则执行第3步。

3）若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的key（父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第4步（第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。

4）若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，则删除操作结束。否则执行第5步

5）若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步

6）当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。

注意，通过B+树的删除操作后，索引结点中存在的key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。

下面是一颗5阶B树的删除过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

a）初始状态

b）删除22,删除后结果如下图

删除后叶子结点中key的个数大于等于2，删除结束

c）删除15，删除后的结果如下图所示

删除后当前结点只有一个key,不满足条件，而兄弟结点有三个key，可以从兄弟结点借一个关键字为9的记录,同时更新将父结点中的关键字由10也变为9，删除结束。

d）删除7，删除后的结果如下图所示

当前结点关键字个数小于2，（左）兄弟结点中的也没有富余的关键字（当前结点还有个右兄弟，不过选择任意一个进行分析就可以了，这里我们选择了左边的），所以当前结点和兄弟结点合并，并删除父结点中的key，当前结点指向父结点。

此时当前结点的关键字个数小于2，兄弟结点的关键字也没有富余，所以父结点中的关键字下移，和两个孩子结点合并，结果如下图所示。

四、Java代码实现

public class BTreeNode {

    public BTreeNode parent;//父节点

    /*以升序方式存储.*/
    public List<Integer> keys;
    /*孩子*/
    public List<BTreeNode> children;

    public boolean leaf;//是否是子节点

    /*子节点中指向下一个节点.*/
    public BTreeNode next;

    public BTreeNode() {
        keys = new ArrayList<>();
        children = new ArrayList<>();
        leaf = false;
    }

    /*返回关键字个数*/
    public int size() {
        return keys.size();
    }

    //该节点中存储的索引是否包含该key值，包含则返回当前索引值，否则返回小于key值的索引
    public SearchResult searchKey(Integer key) {
        int index = Collections.binarySearch(keys, key);
        if (index >= 0) {
            return new SearchResult(index, true);
        } else {
            return new SearchResult(Math.abs(index + 1), false);
        }
    }

    //keys集合是升序排序，这里做了排序的动作，可以直接添加，然后对集合重新排序
    public void addKey(Integer key) {
        SearchResult searchResult = searchKey(key);
        if (!searchResult.found) {
            List<Integer> list = new ArrayList<>(size() + 1);
            for (int i = 0; i < searchResult.index; i++) {
                list.add(keys.get(i));
            }
            list.add(key);
            for (int i = searchResult.index; i < keys.size(); i++) {
                list.add(keys.get(i));
            }
            keys = list;
        }
    }

    //从集合中移除索引
    public void removeKey(Integer key) {
        keys.remove(key);
    }

    //获取子孩子
    public BTreeNode childAt(int index) {
        if (leaf) {
            throw new UnsupportedOperationException("Leaf node doesn't have children.");
        } else {
            return children.get(index);
        }
    }

    //将子孩子添加到集合末尾
    public void addChild(BTreeNode node) {
        children.add(node);
    }

    public void removeChild(int index) {
        children.remove(index);
    }

    //某个位置上的子孩子添加
    public void addChild(BTreeNode child, int index) {
        List<BTreeNode> newChildren = new ArrayList<>();
        int i = 0;
        for (; i < index; ++i) {
            newChildren.add(children.get(i));
        }
        newChildren.add(child);
        for (; i < children.size(); ++i) {
            newChildren.add(children.get(i));
        }
        children = newChildren;
    }
}

public class SearchResult {

    public int index;//索引所在集合的位置

    public boolean found;//是否找到索引

    public SearchResult() {

    }

    public SearchResult(int index, boolean found) {
        this.index = index;
        this.found = found;
    }
}

public class Result extends SearchResult {

    public BTreeNode node;//当前节点，索引值没有找到，则为要插入的节点

    public int parentIndex;//当前节点在父级节点的位置

    public Result(BTreeNode node, int index, int parentIndex, boolean found) {
        super(index, found);
        this.node = node;
        this.parentIndex = parentIndex;
    }

    public Result(BTreeNode node, int parentIndex, SearchResult searchResult) {
        super(searchResult.index, searchResult.found);
        this.node = node;
        this.parentIndex = parentIndex;
    }
}

上面的基本定义则描述了一个节点包括其索引集合，还包括其子孩子，并且在BTreeNode中封装了一些方法，供后续调用

public class BTree {

    private static final int DEFAULT_T = 2;
    public BTreeNode root;
    /* 根据B树的定义，B树的每个非根节点的关键字数n满足(t - 1) <= n <= (2t - 1) */
    private int t = DEFAULT_T;
    /* 非根节点中最小的键值数 */
    private int minKeySize;
    /* 非根节点中最大的键值数 */
    private int maxKeySize;

    public BTree(int t /*传入b树的阶数*/) {
        this();
        this.t = t;
        minKeySize = t / 2;
        maxKeySize = t - 1;
    }
}

封装方法，找到当前索引的位置，没有找到时，则返回索引所在的节点中集合的位置，

public Result searchLeafNode(BTreeNode node, int parentIndex, Integer key) {
        SearchResult searchResult = node.searchKey(key);
        if (node.leaf) {//子节点
            return new Result(node, parentIndex, searchResult);
        } else {
            if (searchResult.found) {
                searchResult.index++;
            }
            return searchLeafNode(node.children.get(searchResult.index), searchResult.index, key);
        }
    }

插入思路：

1. 找到关键字的位置，找到该节点一定是子节点。
2. 添加了关键字的节点，判断是否满了，满了则进行分裂
3. 子节点分裂时，选取中间值上升为父节点中值，但不从子节点中移除，因为子节点保存关键字的值，非子节点保存仅仅是索引

    public boolean insert(Integer key) {
        // 找到子节点
        Result result = searchLeafNode(root, 0, key);
        if (result.found) {//找到该节点,不操作
            return false;
        }
        BTreeNode node = result.node;
        node.addKey(key);
        //判断节点是否满了，满了则进行分割
        if (isFull(node)) {
            split(node.parent, result.parentIndex, node);
        }
        return true;
    }

    //进行分割
    public void split(BTreeNode parentNode, int parentIndex, BTreeNode childNode) {
        //将当前节点一份为二，小的部分将放入到新节点中，自身则成为右节点
        int mid = childNode.size() / 2;
        Integer key = null;
        boolean unLeaf = childNode.children.isEmpty();
        //判断是否为子节点，如果是子节点，索引会放入到右节点中，否则会放入到父节点中
        if (unLeaf) {
            key = childNode.keys.get(mid);
        } else {
            key = childNode.keys.remove(mid);
        }
        //分裂出左节点形成新的节点
        List<Integer> keys = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < mid; i++) {
            Integer k = childNode.keys.remove(0);
            keys.add(k);
        }
        BTreeNode node = new BTreeNode();
        node.parent = parentNode;
        node.leaf = childNode.children.isEmpty();
        node.keys.addAll(keys);
        node.next = childNode;//节点下一个
        //将孩子节点部分也移动到新节点中
        if (!unLeaf) {
            mid = childNode.children.size() / 2;
            for (int i = 0; i < mid; i++) {
                BTreeNode bTreeNode = childNode.children.remove(0);
                bTreeNode.parent = node;
                node.addChild(bTreeNode);
            }
        }
        //父节点为空时，需要产生一个新节点
        if (parentNode == null) {
            root = new BTreeNode();
            root.leaf = false;
            parentNode = root;
            childNode.parent = parentNode;
            node.parent = parentNode;
            parentNode.children.add(childNode);
        }

        int index = parentNode.addKey(key);
        //前一个指针的下一个指针重新定向
        BTreeNode preNode = parentNode.children.get(parentIndex);
        preNode.next = node;
        //将节点添加到列表中
        parentNode.addChild(node, index);
        if (isFull(parentNode)) {//父节点终索引是否满了，满了，则继续分裂
            split(parentNode.parent, 0, parentNode);
        }
    }

    private boolean isFull(BTreeNode node) {
        return node.size() > maxKeySize;
    }

删除关键字思路：

1. 找到该节点，如果是为找到，直接返回
2. 找到该节点，出现一定是在子节点中，移除掉后，判断子节点的索引值是否大于最小数，大于则返回，否则需要进行合并。移除的当前节点如果出现在父节点中，也需要移除。会从子节点中选择一个节点进行补充
3. 删除后小于最小数，则先从兄弟节点借，如果兄弟节点借不出，则进行合并
4. 子节点进行合并，不需要移动子孩子
5. 父节点进行合并，需要将孩子节点移动

    //删除节点
    public boolean delete(Integer key) {
        //找到该节点
        Result result = searchLeafNode(root, 0, key);
        if (!result.found) {//未找到
            return false;
        }
        //删除的节点数量大于
        BTreeNode node = result.node;
        node.removeKey(key);
        if (node.keys.size() >= minKeySize) {
            if (node.parent.keys.contains(key)) {//父节点中包含该节点
                Integer min = node.keys.get(0);
                node.parent.removeKey(key);
                node.parent.addKey(min);
            }
            return true;
        }
        //删除节点后，不满足情况，则找兄弟节点借
        BTreeNode parent = node.parent;
        if (result.parentIndex != 0 && parent.children.get(result.parentIndex - 1).keys.size() > minKeySize) {//左节点有富余可以借
            BTreeNode left = parent.children.get(result.parentIndex - 1);
            Integer max = left.keys.remove(left.keys.size() - 1);
            //替换节点
            if (parent.keys.contains(key)) {
                parent.removeKey(key);
                parent.addKey(max);
                node.addKey(max);
            } else {
                Integer min = node.keys.get(0);
                parent.removeKey(min);
                parent.addKey(max);
                node.addKey(max);
            }
        } else if (result.parentIndex < parent.children.size() - 1 && parent.children.get(result.parentIndex - 1).keys.size() > minKeySize) {//右节点有富余可以借
            BTreeNode right = parent.children.get(result.parentIndex + 1);
            Integer min = right.keys.remove(0);
            //替换节点
            if (parent.keys.contains(key)) {
                parent.removeKey(key);
                parent.addKey(min);
                node.addKey(min);
            } else {
                Integer max = node.keys.get(node.keys.size() - 1);
                parent.removeKey(max);
                parent.addKey(min);
                node.addKey(min);
            }
        } else {
            //兄弟节点也没有，则进行合并
            node.parent.removeKey(key);
            node.parent.removeKey(node.keys.get(0));
            union(node, result.parentIndex);
        }
        return true;
    }

    public void union(BTreeNode node, int parentIndex) {
        int ch = 0;
        if (parentIndex == 0) {//当前节点是最左节点，则只能找右节点
            ch = 1;
        } else {//否则找左节点
            ch = parentIndex - 1;
        }
        BTreeNode parent = node.parent;
        if (parent == null) {
            return;
        }
        BTreeNode kNode = parent.children.get(ch);
        for (int i = 0; i < node.size(); i++) {
            kNode.addKey(node.keys.get(i));
        }
        parent.removeChild(parentIndex);//移除节点
        //判断上级节点
        if (parent.keys.size() < minKeySize) {
            union(parent);
        }
    }

    public void union(BTreeNode node) {
        if (node.parent == null) {
            return;
        }
        Integer min = node.keys.get(0);
        BTreeNode parent = node.parent;
        //找到当前节点的位置
        Integer index = -1;
        for (int i = parent.keys.size() - 1; i >= 0; i--) {
            if (min > parent.keys.get(i)) {
                index = i;
                break;
            }
        }
        Integer parentValue = null;
        if (index != -1) {
            parentValue = parent.keys.get(index);
        } else {//没有找到则表示当前节点为最左节点
            parentValue = parent.keys.get(index + 1);
        }
        if (index != -1 && parent.children.get(index).keys.size() > minKeySize) {
            //判断左节点是否富余
            BTreeNode left = parent.children.get(index);
            Integer max = left.keys.get(left.size() - 1);
            parent.keys.add(index, max);
            node.addKey(parentValue);
            node.addChild(left.children.get(left.children.size() - 1), 0);
        } else if ((index == -1 && parent.children.get(index + 2).keys.size() > minKeySize) || (index < parent.keys.size() - 1 && parent.children.get(index + 1).keys.size() > minKeySize)) {
            //判断右节点是否富余
            BTreeNode right = parent.children.get(index + 1);
            Integer m = right.keys.get(0);
            parent.keys.add(index, m);
            node.addKey(parentValue);
            node.addChild(right.children.get(0));
        } else {
            //合并
            if (index == -1) {
                //合并到右节点
                BTreeNode right = parent.children.get(index + 2);
                Integer pa = parent.keys.remove(index + 1);
                right.addKey(pa);
                for (int i = 0; i < node.keys.size(); i++) {
                    right.addKey(node.keys.get(i));
                }
                List<BTreeNode> bTreeNodes = new ArrayList<>();
                for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
                    bTreeNodes.add(node.children.get(i));
                }
                for (int i = 0; i < right.children.size(); i++) {
                    bTreeNodes.add(right.children.get(i));
                }
                right.children = bTreeNodes;
                parent.children.remove(index + 1);//移除该节点
                if (parent.keys.isEmpty()) {//节点为空
                    root = right;
                    return;
                }
            } else {
                //合并到左节点
                //找到父级节点下沉,并将该节点所有添加到左节点中
                BTreeNode left = parent.children.get(index);
                Integer max = parent.keys.remove(index.intValue());
                left.addKey(max);
                for (int i = 0; i < node.keys.size(); i++) {
                    left.addKey(node.keys.get(i));
                }
                for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
                    left.children.add(node.children.get(i));
                }
                parent.children.remove(index + 1);//移除该节点
                if (parent.keys.isEmpty()) {//节点为空
                    root = left;
                    return;
                }
            }
        }
        //判断上级节点
        if (parent.keys.size() < minKeySize) {
            union(parent);
        }
    }

打印输出：

private void outPut(BTreeNode node, int index) {
        if (node.leaf) {
            List<Integer> kes = node.keys;
            System.out.println("叶子节点，层级：" + index + ",keys:" + kes);
        } else {
            List<Integer> kes = node.keys;
            System.out.println("层级：" + index + ",keys:" + kes);
            for (int i = 0; i < node.children.size(); i++) {
                outPut(node.children.get(i), index + 1);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        BTree tree = new BTree(5);
        tree.insert(5);
        tree.insert(8);
        tree.insert(10);
        tree.insert(15);
        tree.insert(16);
        tree.insert(17);
        tree.insert(6);
        tree.insert(9);
        tree.insert(18);
        tree.insert(19);
        tree.insert(20);
        tree.insert(21);
        tree.insert(22);
        tree.insert(7);
        tree.outPut(tree.root, 0);

        System.out.println("---------------------------------------------");

        tree.delete(22);
        tree.delete(15);
        tree.outPut(tree.root, 0);
        System.out.println("---------------------------------------------");
        tree.delete(7);
        tree.outPut(tree.root, 0);
        System.out.println("---------------------------------------------");
    }

最后的结果：

层级：0,keys:[16]
层级：1,keys:[7, 10]
叶子节点，层级：2,keys:[5, 6]
叶子节点，层级：2,keys:[7, 8, 9]
叶子节点，层级：2,keys:[10, 15]
层级：1,keys:[18, 20]
叶子节点，层级：2,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：2,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：2,keys:[20, 21, 22]
---------------------------------------------
层级：0,keys:[16]
层级：1,keys:[7, 9]
叶子节点，层级：2,keys:[5, 6]
叶子节点，层级：2,keys:[7, 8]
叶子节点，层级：2,keys:[9, 10]
层级：1,keys:[18, 20]
叶子节点，层级：2,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：2,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：2,keys:[20, 21]
---------------------------------------------
层级：0,keys:[9, 16, 18, 20]
叶子节点，层级：1,keys:[5, 6, 8]
叶子节点，层级：1,keys:[9, 10]
叶子节点，层级：1,keys:[16, 17]
叶子节点，层级：1,keys:[18, 19]
叶子节点，层级：1,keys:[20, 21]