UFLDL 教程学习笔记（三）

教程地址：http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/SoftmaxRegression/

logstic regression是二分类的问题，如果想要多分类，就得用softmax regression。

这节比较难理解的是cost function，实际上，cost function就是最大似然估计加上了个负号。

理论部分参考这位博主的博文：http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/22/2975978.html

要注意logistic regression和softmax regression之间的不同，在不同场合用不同的方法。

实验部分看了好久，一直不明白，一是因为matlab不熟悉，还有一方面是变量的维数一直没搞明白。

这位博主给出了代码的详细解释，还是懵懵懂懂：http://www.cnblogs.com/happylion/p/4225830.html

他的字体不容易看，我重新整理下，并加些注释。

我们首先展示下我们训练样本部分的图片和label：

   1: images = loadMNISTImages('train-images.idx3-ubyte');%得到的images是一个784*60000的矩阵，意思是每一列是一幅28*28的图像展成了一列，

   2: %一共有60000幅图像。

   3: labels = loadMNISTLabels('train-labels.idx1-ubyte');

   4: display_network(images(:,1:100)); % Show the first 100 images

   5: disp(labels(1:10));

下面我们进行训练，首先我们定义一些softmax模型常量：

   1: inputSize = 28 * 28; % Size of input vector (MNIST images are 28x28)

   2: inputSize =inputSize +1;% softmx的输入还要加上一维（x0=1），也是θj向量的维度

   3: numClasses = 10;     % Number of classes (MNIST images fall into 10 classes)

   4: lambda = 1e-4; % Weight decay parameter
 
导入训练样本数据

   1: images = loadMNISTImages('train-images.idx3-ubyte');%得到的images是一个784*60000的矩阵，意思是每一列是一

   2: %幅28*28的图像展成了一列，一共有60000幅图像。

   3: labels = loadMNISTLabels('train-labels.idx1-ubyte');

   4: labels(labels==0) = 10; % 因为这里类别是1,2..k，从0开始的，所以这里把labels中的0映射成10

   5:  

   6: inputData = images;

   7: inputData = [ones(1,60000); inputData];%每个样本都要增加一个x0=1

初始化模型参数：

   1: theta = 0.005 * randn(inputSize*numClasses, 1);

接下来也是最重要的一步就是：给定模型参数的情况下，求训练样本的softmax的cost function和梯度，即

   1: [cost, grad] = softmax_regression_vec(theta,inputData ,labels,lambda );

接下来我们就要写softmax_regression_vec函数：

   1: function [f,g] = softmax_regression_vec(theta, X,y,lambda )  

   2: %下面的n和inputSize指数据有多少维（包括新加的x0=1这一维），也是θj向量的维度

   3: %这里y是1,2....到k，从1开始的 

   4:   m=size(X,2);%X每一列是一个样本，m是指有m个样本  

   5:   n=size(X,1);  %n指代的前面说了

   6:   theta=reshape(theta, n, []); %也就是把theta设置成这样矩阵：有inputSize行也就是n行，每一列是一个θj，有k列。这样的θ矩阵跟前面理论部分的θ矩阵不一样，存在
 %转置关系，为什么这样呢？这样这样的话在后面的reshape和矩阵A（:）这样的操作，方便，都是按列进行的，还原也方便。所以只好程序中出现的θ矩阵都是这样的，k列，跟理论部分的相反。

   7:   % initialize objective value and gradient.  

   8:   f = 0;  

   9:   g = zeros(size(theta));  

  10:   h = theta'*X;%h是k行m列的矩阵，见图1.(之前一直不理解h矩阵是什么样的，看下图就明白了)

   1: a = exp(h);  

   2:  p = bsxfun(@rdivide,a,sum(a)); % sum(a)是一个行向量，每个元素是a矩阵的每一列的和。然后运用bsxfun(@rdivide，，）

   3:  %是a矩阵的第i列的每个元素除以 sum(a)向量的第i个元素。得到的p矩阵大小和图1一样，每个元素如图2.

   1: i = sub2ind(size(c), y',1:size(c,2)); %y',1:size(c,2)这两个向量必须同时是行向量或列向量

   2:   %因为我们接下来每一个样本xi对应的yi是几，就去找到p的每一列中，所对应的第几个元素就是要找的，如图4.首先使用sub2ind

   3:   %sub2ind: 在matlab中矩阵是按一列一列的存储的，比如A=[1 2 3;4 5 6]

   4: %那么A（2）=4，A(3)=2...而这个函数作用就是比如 sub2ind（size（A）,2,1）就是返回A的第2行第一列的元素存储的下标，因为

   5: %A（2）=4，所以存储的下标是2，所以这里返回2.这里sub2ind（size（A）,2,1）的2,1也可以换成向量[a1,a2..],[b1,b2..]但是注意

   6: %这两个向量必须同时是行向量或列向量，而不能一个是行向量一个是列向量。所以返回的

   7: %第一个元素是A的第a1行第b1列的元素存储的下标，返回的第,二个元素是A的第a2行第b2列的元素存储的下标...i是一个向量，c（i）得到的

   8: %向量的每一个元素就是p中每一列你前面要找的的元素。
 
注：sub2ind(size(A),m,n)是得到A中m行n列这个元素的标号，具体参考：http://blog.csdn.net/djh512/article/details/6785975
   在上面的代码中，得到的是y(i)=j的元素所对应的标号。

   1: values = c(i);  

   2:  f = -(1/m)*sum(values)+ lambda/2 * sum(theta(:) .^ 2);  %这个就是cost function 
 
    最后求梯度：

   1: d = full(sparse(1:m,y,1)); %d为一个稀疏矩阵，有m行k列（k是类别的个数），这个矩阵的（1，y（1））、（2，y（2））

   2:   %....(m,y(m))位置都是1。

   3:   g = (1/m)*X*(p'-d)+ lambda * theta; %这个g和theta矩阵的结构一样。 

   4:   g=g(:); % 再还原成向量的形式，这里（：）和reshape都是按列进行的，所以里面位置并没有改变。
注：sparse(i,j,s,m,n)构成一个稀疏矩阵，full则是把稀疏矩阵转为全矩阵。具体参考：http://blog.csdn.net/meng4411yu/article/details/8840612
下面这段话我没看明白：

　　 我们想求梯度矩阵g，这里的g和θ=[θ1,θ2,…,θk]矩阵大小size一样（跟博客中的θ矩阵存在转置关系，之所有代码中这么做，是因为这样再把参数矩阵转成一个向量或转回去利用g（：）或reshape函数按列比较方面），

是n行k列的矩阵。n是θj或一个样本xi（包括截距1这一维）的维度大小，k是类别个数。m是样本个数。

我们想用矢量编程来求g矩阵：

我们有样本X（代码中每一列是一个样本，也即X为n行m列），那么g = (1/m).*X*(p'-d)即是。比如，X的第 i 行乘以（p'-d）的第 j 列就是X（i，j）的值。（正是这种行向量乘以列向量是对应元素相乘再相加就 完成了公式里的Σ，这也是矢量编程的核心）

ok,现在我们这个函数写完了，我们想验证下，我们写的这个求导数或着说梯度的这个公式正确不正确，我们还是用之前博客提到的用求导公式来验证，因为你求softmax模型某个参数的导数跟你输入的数据是什么、多少都没有关系，所以我们这有用一些简单的随意写得数据和label，然后随意取一个参数进行验证是不是正确，这些程序在前面已经有了，就不进行讲解了。

这段程序没跑过，有空跑跑看。

   1: % DEBUG = true; % Set DEBUG to true when debugging.

   2: DEBUG = false;

   3: if DEBUG

   4:     inputSize = 9;

   5:     inputData = randn(8, 100);

   7:     inputData = [ones(1,100);inputData];

   8:     labels = randi(10, 100, 1);%从[1,100]中随机生成一个100*1的列向量

  10: end

  12: % Randomly initialise theta

  13: theta = 0.005 * randn(inputSize*numClasses, 1);

   1: [cost, grad] = softmax_regression_vec(theta,inputData ,labels,lambda );

   2:                                      

   3: if DEBUG

   4:  numGrad = computeNumericalGradient( @(theta) softmax_regression_vec(theta,inputData ,labels,lambda) ,theta);

   5:  

   6:     % Use this to visually compare the gradients side by side

   7:     disp([numGrad grad]); 

   8:  

   9:     % Compare numerically computed gradients with those computed analytically

  10:     diff = norm(numGrad-grad)/norm(numGrad+grad);

  11:     disp(diff); 

  12:     % The difference should be small. 

  13:     % In our implementation, these values are usually less than 1e-7.

  14:  

  15:     % When your gradients are correct, congratulations!

  16: end