算法导论学习-RED-BLACK TREE

1. 红黑树(RED-BLACK TREE)引言：

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红黑树(RBT)可以说是binary-search tree的非严格的平衡版本。与之相应的是平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称之为AVL树(因为是G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis在1962年发明的这棵树)是binary-search tree的严格的平衡版本。

BST达到最平衡的状态称之为AVL。在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（lg n）。但因为增加和删除节点可能会破坏“平衡状态”，所以大多数情况下需要通过多次树旋转来重新平衡这个树。所以简单地说，如果你的应用查找次数远远多于增删操作，那么AVL是最好的，但是如果增删次数和查找次数不相上下时，RBT因为相比AVL没有过多的旋转操作，效率要比AVL高。并且在是实际情况中，RBT的应用也更为广泛。至少《intro to algo》这本书上主要讲了RBT。

2. 红黑树几个基本属性：

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因为RBT是binary-search tree的非严格的平衡版本，所以红黑树继承了BST的基本属性：key值，和基本性质：对于tree中任意节点x，都有x.left.key<x.key<=x.right.key. 此外，BST的叶子节点在RBT不称之为叶子节点，RBT的叶子节点为NIL，所以BST的ROOT节点的父亲节点在RBT表示里不再为空，而是NIL或者称之为TREE.sentinel. BST中的叶子节点也是一样，他们也有孩子为NIL节点。接下来是RBT的独有属性：color，即每个树节点都有自己的color，要么红要么黑。

然后是RBT的五个基本性质：1）每个树节点要么是红色要么是黑色；2）ROOT节点必须是黑色；3）NIL节点为黑色；4）如果一个节点是红色，那么它的孩子节点都是黑色（NIL节点除外），从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点；5）从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。 如下图所示：

　　

3. 旋转：

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因为在执行操作或者删除操作以后，RBT的性质可能会被改变。所以为了维护RBT的基本性质[2]，我们需要改变一些树的节点的颜色，同时需要改变树的结构。下图展示了树的旋转动作：

　　　　　　　　　　

旋转动作共有两种：left 和 right。left-rotation 就是逆时针旋转，right-rotation是顺时针旋转。以left-roation为例，如上图右侧所示，

第一步：建立y的左孩子β与x的“亲子关系”：β.parent=x AND x.right=β.

第二步：y取代x：(当x不是ROOT节点时) y.parent=x.parent AND (x.parent.left==x)? (y=x.parent.left): (y=x.parent.right).

(当x是ROOT节点时) y=ROOT

第三步：逆转x，y父子关系： x=y.left AND x.parent=y;

 1 LEFT-ROTATE(T, x)
 2 y=x.right
 3 x.right=y.left
 4 if y.left != T.nil
 5         y.left.p=x
 6 y.parent=x.parent
 7 if x.parent==T.nil
 8         T.root=y
 9 else if x==x.parent.left
10         x.parent.left=y
11 else x.parent.left=y
12 y.left=x
13 x.parent=y

 4. 插入：

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红黑树的插入和BST基本类似。不清楚BST插入算法的可以参考我的这一篇博客：http://www.cnblogs.com/fu11211129/p/4214047.html

红黑树的插入在BST的插入上做了一些微调，这里把这两种插入的伪代码展示做个比较。

TREE-INSERT(T, z)//BST插入算法
1 y=NIL
2 x=T.ROOT
3 while(x!=NIL)
4　　 y=x
5 　　if(z.key<x.key)
6　　 　　x=x.left
7 　　else x=x.right
8 z.p=y
9 if(y==NIL) T.ROOT=z
10 else if(z.key<y.key) y.left=z
11 else y.right=z

RB-TREE-INSERT(T, z)//RBT插入算法
1 y=T.NIL
2 x=T.ROOT
3 while(x!=T.NIL)
4　　 y=x
5 　　if(z.key<x.key)
6　　 　　x=x.left
7 　　else x=x.right
8 z.p=y
9 if(y==T.NIL) T.ROOT=z
10 else if(z.key<y.key) y.left=z
11 else y.right=z
12 z.left=T.NIL
13 z.right=T.NIL
14 z.color=RED
17 RB-INSERT-FIXUP(T, z)

对比两个插入算法，我们可以注意到四个不同，1）BST中的NIL被替换成了T.NIL，这是因为NIL在红黑树体系里是看做一个节点的。2）RBT-INSERT算法里14-15行，我们将T.NIL分别赋值给了z.left和z.right，是为了保持树的合理结构。3）在RBT-INSERT算法里16行将z的颜色设置为红色。4）因为给z着色以后可能会导致红黑树的基本性质被破坏，所以我们调用RB-INSERT-FIXUP函数（下面会具体讲到）来秀姑RBT树使之仍能保持它的基本性质。

5. 插入修复（这里用日本古代武士社会结构做比喻）：

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小日本武士中最大的叫将军，管着很多大名，大名是有城有地盘，有兵有旗号，有很多家臣为其服务。家臣又分许多等级，大名的地盘分一部分给家臣，这就是城主。每个家臣都可以有自己的家臣，只要你地盘的收入俸禄养得起。这个等级制度，非常森严，没有出身保证，就算功劳再大也爬不上去。因为除了将军，武士一定得效忠于某个主公的，大名也是将军的家臣。并且这种效忠是继承的，你的子子孙孙都要效忠主公的后代。

日本和中国情况不同，没有人敢喊出王候将相，宁有种乎。所以丰臣秀吉能从，最底层的普通武士做起，一步步做到关白（和将军平级，那时没设将军，相当于将军），成了不可思议的传奇。当与你的功劳或能力所匹配的待遇，超过了主公所能给予，就可能发生改换门庭，甚至颠覆主公的事情。人们都说日本战国时代就是一个下克上的时代。

好了，扯得有点远了，回到正题来。我们把红黑树两种颜色节点，代表两个基本的武士类型，黑色代表安分守已对上机忠心耿耿，但同时也庸碌无为没能力。红色表示既有才能，又有野心。

插入操作时，好像一个新的武士出仕，没有背景，没有功勋。但他有能力，有抱负（红色），就像丰臣秀吉那样。要是跟了个黑色类型的主公，虽然终究会不甘心居人之下，但却没条件“下克上”，因为这个主公对大主公（主公的主公）忠心耿耿，兢兢业业，你再有才也英雄无用武之地，只能待时而动了。这种情况对应着RBT的结构已经稳定。

但要是主公是红色的（有野心），那新武士就有想入非非了，成天跟大主公打小报告，说他谋反。反正主公忠心有限，把柄很多，只是大主公没那个洞察力。大主公看到一些莫须有的证据，谋反这事宁枉勿纵。于是新武士举报有功，主公反倒成了自己的家臣（如下图第二个状态）。但是昏庸的大主公很快就要付出代价，自己成了新武士的下一个目标（如下图第三个状态）。

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　（B表示新武士，A表示B的主公）

还有一种情况就是，主公的有野心的，但是大主公的其他家臣如果也有野心的话，情况就不一样了，要是其他家臣也一样有能力，那就热闹了，这一家从此两虎相争，不得安宁（此处略去数万字）。大主公能力平庸，控制不住，最终酿成大乱，经过一番血雨腥风，大主公家出现了一位雄才伟略的家主，平定了内乱，原来两家的强势家主全部被消灭，家主换成了忠心可靠（变黑）的人。而大主公家的新家主，野心开始膨涨了（变红）。

下面走一遍完整的流程：

好了从a）图开始，新武士编号为4（这里我就不标红圈了，阴影的就代表红色）在家臣5的手下做事。家臣5不愿意屈居人下，而4发现了这一点，4想撺掇5去篡权。但不幸的是，同样是7的家臣，家臣8，也是野心勃勃（红色）。所以在大名7的统治下，出现了混乱的局面，群雄四起。。。最终大名家族又出现了一名新的大名7，平定了内乱，将家臣5和8换成了对自己忠心的家臣。而且与此同时，新的大名7也是野心膨胀（变红）。(在途中对应的是状态1经过case1到达状态2）

新的大名7野心勃勃，而且他的主公2也是野心不小，所以大名7只能战而玩阴的了，大名7向大主公11说主公2的坏话。大主公也是二货（黑色），听风就是雨，大名7举报有功，这样一来，主公2反倒成了大名7的下属了。但是很快的，这位二货打主攻11也要自食恶果了，大名7直接占了他的位置。

6. 移植：

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因为移植操作是删除操作的一个基本动作，所以这里先做个简要说明。RBT的移植算法基本和BST的一致，大家可以参照博

RB-TRANPLANT(T, u, v)
1 if (u.parent==NIL) T.ROOT=v
2 else if(u==u.parent;.left) u.parent.left=v
3 else u.parent.right=v
4 v.parent=u.parent

客：http://www.cnblogs.com/fu11211129/p/4214047.html

大家可以发现只有第四行不一样，原因很简单，RBT把NIL看做一个节点了。

7. 删除：

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删除操作是比较麻烦的一部分内容，但类似的，和BST删除操作也很相似，http://www.cnblogs.com/fu11211129/p/4214047.html

下面贴出RBT的删除操作的伪代码：

RB-DELETE(T, z)   单纯删除结点的总操作
 1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
 2    then y ← z
 3    else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
 4 if left[y] ≠ nil[T]
 5    then x ← left[y]
 6    else x ← right[y]
 7 p[x] ← p[y]
 8 if p[y] = nil[T]
 9    then root[T] ← x
10    else if y = left[p[y]]
11            then left[p[y]] ← x
12            else right[p[y]] ← x
13 if y ≠ z
14    then key[z] ← key[y]
15         copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17    then RB-DELETE-FIXUP(T, x)

因为相比BST删除算法，就是加入一些节点颜色的处理机制，所以这里不再赘述。大家理解了BST的删除后，RBT也就差不多了。

8. 删除修复（还没有想到合适的比喻，想到了会更新这一部分）：

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还是先贴上伪代码吧，然后结合代码做个分析。

RB-DELETE-FIXUP(T, x)   恢复与保持红黑性质的工作
 1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
 2     do if x = left[p[x]]
 3           then w ← right[p[x]]
 4                if color[w] = RED
 5                   then color[w] ← BLACK                        ▹  Case 1
 6                        color[p[x]] ← RED                       ▹  Case 1
 7                        LEFT-ROTATE(T, p[x])                    ▹  Case 1
 8                        w ← right[p[x]]                         ▹  Case 1
 9                if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10                   then color[w] ← RED                          ▹  Case 2
11                        x p[x]                                  ▹  Case 2
12                   else if color[right[w]] = BLACK
13                           then color[left[w]] ← BLACK          ▹  Case 3
14                                color[w] ← RED                  ▹  Case 3
15                                RIGHT-ROTATE(T, w)              ▹  Case 3
16                                w ← right[p[x]]                 ▹  Case 3
17                         color[w] ← color[p[x]]                 ▹  Case 4
18                         color[p[x]] ← BLACK                    ▹  Case 4
19                         color[right[w]] ← BLACK                ▹  Case 4
20                         LEFT-ROTATE(T, p[x])                   ▹  Case 4
21                         x ← root[T]                            ▹  Case 4
22        else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK

前面，我已经说了，因为插入、或删除结点后，可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，那就要做俩方面的工作：1、部分结点颜色，重新着色 2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。而下面所有的文字，则是针对红黑树删除结点后，所做的修复红黑树性质的工作。

情况1：当前节点的兄弟节点是红色；解法，在当前节点的父节点上进行左旋，结束。此时红黑树性质全部恢复。

情况2：当前节点的兄弟节点是黑色并且兄弟节点的孩子节点也都是黑色 解法：直接把兄弟节点变成红色就行了。

情况3：当前节点的兄弟节点是黑色，且兄弟节点的左孩子为红色，右孩子为黑色。解法：在兄弟节点的左孩子上右旋，并且互换父亲左孩子的颜色。

情况3：当前节点的兄弟节点是黑色，且兄弟节点的两个孩子都为红色。解法： 在父亲节点上左旋，并且互换父亲右孩子颜色。

（日本武士版解释：在介绍插入的时候，我们“插入故事”的“主人翁”是一个刚出道的武士，雄姿英发，羽扇纶巾。。。，在这里我们“删除故事”的主人翁是一个“要退役”的武士x，但是秉承武士“猥琐的”特点，x下岗之前，总要把格局教的混乱不堪才行。但是因为x要“退役”了，所以他自己是没有能力的（黑色）。所以他把目光转移到了他的兄弟上，但这也要看他的兄弟w是个什么货色

如果他胸无大志，那么x就撩起兄弟w的野心（变红）（对应case2）。

如果他的兄弟w是有野心的（红色），x也就不用撺掇了，但是兵法有云，攘外必先安内（我也不知道是不是兵法上的，姑且这么说吧），如果w的两个家臣都安分守己，那么好，w就可以放心去抢班夺权了（对应case1），w成功之后志得意满，生活堕落（变黑），而被w强权的曾经上级B开始卧薪尝胆了（变红）（对应case1）。

如果他的兄弟w胸无大志，但是他的其中一个家臣野心不小，那么x就转而开始撺掇w的家臣犯上作乱（对应case3）。

如果他的兄弟w胸无大志，而且悲催的是，他的家臣没有一个真正沉服于他的。那么x心想我不用攒多了，让他们内斗吧，最后D家族出了一位新的w，先是成功篡权，然后将自己的手下换成对自己中心的人（黑色）