vijos & codevs 能量项链 - 动态规划

描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

格式

输入格式

输入文件的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当1≤i＜N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出文件只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例1

样例输入1

4
2 3 5 10

样例输出1

710

限制

1s

来源

NOIP2006第一题

(转自Vijos1312,题目传送门[codevs]&[vijos])

---

　　这道题和加分二叉树有点像，所以立刻想到区间dp。它们俩的差别大概就在一个是树上，还有一个是在环上。处理环就像骑士那样处理，破环成链，特殊处理两端。于是用f[aflag][i][j]来进行dp.

　　（PS，下文的区间指的是项链上的一段,[i, j]表示第i个能量珠到第j个能量珠这一段）

　　其中aflag为0时表示是在链上，[i, j]区间的能量珠合并出来的最大值。当aflag为0时表示过剖开点，从j到i（区间[j, n]和[1, i]）。

　　在链上的比较简单，很容易可以想出方程 f[0][i][j] = max{f[0][i][k] + f[0][k + 1][j] + a[i] * a[k + 1] + a[(j + 1) % n]}(a表示读入的n个数，下标从0开始)

　　过剖开点就有三种情况

1. 

   k在左端，f[1][i][j] = max{f[0][k][i] + f[1][k - 1][j] + a[(i + 1) % n] * a[k] * a[j]}

2. 

   k在右端，f[1][i][j] = max{f[0][j][k] + f[1][i][k + 1] + a[j] * a[k + 1] * a[(i + 1) % n]}

3. 刚好是两个在链上的区间(区间[j, n]和[1, i])合并，smax(f[1][i][j], f[0][0][i] + f[0][j][n - 1] + a[j] * a[0] * a[i + 1])

最后在f[0][0][n - 1]和f[1][i][i + 1]中找找最大值就好了。

Code

 /**
  * codevs        & vijos.org
  * Problem#1154    & 1312
  * Accepted        & Accepted
  * Time:13ms    & 30ms
  * Memory:364k    & 536k
  */
 #include<iostream>
 #include<sstream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cctype>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<map>
 #include<stack>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 #define smin(a, b) (a) = min((a), (b))
 #define smax(a, b) (a) = max((a), (b))
 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u){
     char x;
     int aFlag = ;
     while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-');
     if(x == '-'){
         aFlag = -;
         x = getchar();
     }
     for(u = x - ''; isdigit((x = getchar())); u = u *  + x - '');
     ungetc(x, stdin);
     u *= aFlag;
 }
 
 template<typename T>class Matrix{
     public:
         T *p;
         int lines;
         int rows;
         Matrix():p(NULL){    }
         Matrix(int rows, int lines):lines(lines), rows(rows){
             p = new T[(lines * rows)];
         }
         T* operator [](int pos){
             return (p + pos * lines);
         }
 };
 #define matset(m, i, s) memset((m).p, (i), (s) * (m).lines * (m).rows)
 
 #define idx(i)    a[(i + n) % n]
 
 int n;
 int *a;
 Matrix<int> f[];
 
 inline void init(){
     readInteger(n);
     f[] = Matrix<int>(n, n);
     f[] = Matrix<int>(n, n);
     a = new int[(const int)(n)];
     for(int i = ; i < n; i++)
         readInteger(a[i]);
 }
 
 inline void solve(){
     matset(f[], 0xf0, sizeof(int));
     matset(f[], 0xf0, sizeof(int));
     for(int i = ; i < n - ; i++){
         f[][i][i + ] = a[i] * a[i + ] * idx(i + );
     }
     for(int i = ; i < n; i++)    f[][i][i] = ;
     f[][][n - ] = a[n - ] * a[] * a[];
     for(int s = ; s < n; s++){
         for(int i = ; i + s < n; i++){
             int j = i + s;
             for(int k = i; k < j; k++){
                 smax(f[][i][j], f[][i][k] + f[][k + ][j] + a[i] * a[k + ] * idx(j + ));
             }
         }
         for(int i = ; i - s < ; i++){
             int j = (i - s + n) % n;
             for(int k = i; k > ; k--){
                 smax(f[][i][j], f[][k][i] + f[][k - ][j] + idx(i + ) * a[k] * a[j]);
             }
             for(int k = j; k < n - ; k++){
                 smax(f[][i][j], f[][j][k] + f[][i][k + ] + a[j] * a[k + ] * idx(i + ));
             }
             smax(f[][i][j], f[][][i] + f[][j][n - ] + a[j] * a[] * a[i + ]);
         }
     }
     int result = f[][][n - ];
     for(int i = ; i < n - ; i++){
         smax(result, f[][i][i + ]);
     }
     cout << result;
 }
 
 ///Main Funtion
 int main(int argc, char* argv[]){
     init();
     solve();
     return ;
 }