1671: 数字拼图

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题目描述

拼图游戏即在任意一个N*N(N>1)的拼图中,会把一张完整的图片裁切成N*N块,去掉尾部一块,然后打乱顺序,通过调换空格块与邻块的位置来还原图片。为了方便计算,我们规定右下角最后一块图片为空,用0代替,其余每一块图片用从1~N*N-1的数字来表示。我们简单示范一下数字拼图的操作吧。

例如3*3的拼图

142

835

670

可以通过0与其他数字横竖交换得到新的拼图

142

830

675

中间可进行无限次0与其他数字的交换。我们最终需要将整张图还原为

123

456

780

我们需要做的就是计算数字拼图还原。是计算还原所需最小的步数吗?当然不是,那对于现在的你们来说还有点困难。我们就从简单的开始吧。首先为了简化操作可以将规定2<=N<=4。

问:任意给一个N*N数字矩阵,能否证明:经过无限次的交换,一定能到达目标矩阵或者经过无限的交换也不能实现目标矩阵?如果能输出YES,如果不能输出NO。

输入

第一行输出N,接下来为(0~N*N-1)的数字矩阵。同行数字间保证有一空格。我们保证一开始0在右下角,且数字符合要求。N为0结束。

输出

如果能还原输出YES,如果不能还原输出NO。

样例输入

3
1 2 3
4 5 6
7 8 0 2
3 2
1 0 0

样例输出

YES
NO

提示

本题有两种解题思路,一种可以采用模拟解法,将整个过程模拟下来得出答案,另外还可以根据线性代数的逆序数思维求解更简洁。

逆序数:把矩阵按照从左到右从上到下顺序依次排列,然后查找逆序数是偶数还是奇数,依据逆序数的奇偶性来判断能否还原

拼图游戏的数学原理

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100;
int a[maxn][maxn],b[maxn*maxn];
int main()
{
int n,i,j;
while(cin>>n&&n)
{
int k=0;
int sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
cin>>a[i][j];
b[k++]=a[i][j];
}
int K=k;
for(i=0;i<K-1;i++)
{
for(j=i+1;j<K-1;j++) if(b[i]>b[j]) sum+=1;
}
if(b[K-1]==0)
{
if(sum%2!=0) cout<<"NO\n";
else cout<<"YES\n";
}
else
{
if(sum%2==0) cout<<"NO\n";
else cout<<"YES\n";
}
}
return 0;
}

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