关于LCA

LCA：最近公共祖先

指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先

如图，5,7的最近公共祖先就是3

接下来，我们来了解如何求解LCA

No.1 暴力

　　首先想到的肯定是暴力，我们搜索，从两个节点一步一步向上爬。

　　待你爬到之时，你自然会感到TLE的魅力

　　复杂度：O（nm）（最坏）

No.2 倍增法

　　倍增的主要思想就是，让较深的节点向上爬，爬到和较浅的节点同高度（然后它们就相爱了，不过它优的是，它不是一个一个向上爬

　　即：先搜一遍树,预处理出x的第(1<=2k<=max(dep))个父亲,存起来.询问时,还是让深度更大的节点x向上倍增至与另一节点y在同一深度上,然后一起倍增向上跳

　　建树：

　　　

　　求解：

　　

　   因为涉及倍增，所以倍增法在复杂度方面肯定比暴力更优，降n为logn

　　复杂度：（mlogn）

No.3 离线tarjan法

　　我们先将所有询问存起来，DFS一遍的同时我们将已经回溯完的标记为'′1′′，正在dfs的及dfs过但未回溯的标记为''2'

　　然后在正在dfs的节点中处理与它有关的询问,若正在回溯已经DFS过的节点x,有个询问是求LCA(x,y)。

　　

　　若y的标记是′′1′′,显然y第一个标记为′′2′′的祖先就为LCA(x,y)。

　　若标记不是''1''，比如当y是x祖宗还是没关系,在回溯到y时,y就是符合要求的答案。

　　那怎么快速求第一个标记为'′′2′′的祖先呢?用并查集维护一下就好了.

　　显然，此种方法的复杂度更优。但是，我们容易发现，它只能离线求解，所以它适于数据范围较大且离线操作的题目。

　　复杂度O(N+M)

No.4 ST法

　　由欧拉序，经过ST的预处理后，比较大小，小的当作左区间l，大的当作右区间r，之后查询l<=i<=r里面使得deep[i]最小的值,返回对应下标即最近公共祖先。

　　

　　复杂度：O(n+m+nlogn)

最后的重头戏，恩，，我最喜欢的一种方法（学姐教的

树剖大法：

　　首先，我们要建树！

　  在建树的过程中，我们可以求出每个点的深度，每个点的父节点，以及每棵子树的大小。

　　

　　接下来我们要处理轻链和重链

　　处理好轻链重链之后，我们可以根据判断它们在那条链上，以便于求解。

　　

　　复杂度：O（mlogn）

以上干货报道完毕。

以下是代码time：

1.暴力就不发了。

2.倍增：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=+;
int n,m,s,k;
int head[maxn],deep[maxn],dad[maxn][];
struct node {
    int v,next;
} e[maxn*];
void add(int u,int v) {
    e[k].v=v;
    e[k].next=head[u];
    head[u]=k++;
    e[k].v=u;
    e[k].next=head[v];
    head[v]=k++;
}
void dfs(int u,int fa) {
    deep[u]=deep[fa]+;
    dad[u][]=fa;
    for(int i=; (<<i)<=deep[u]; i++)
        dad[u][i]=dad[dad[u][i-]][i-];
    for(int i=head[u]; i!=-; i=e[i].next) {
        int v=e[i].v;
        if(v!=fa) dfs(v,u);
    }
}
int lca(int a,int b) {
    if(deep[a]>deep[b]) swap(a,b);
    for(int i=; i>=; i--)
        if(deep[a]<=deep[b]-(<<i)) b=dad[b][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=; i>=; i--) {
        if(dad[a][i]==dad[b][i]) continue;
        else a=dad[a][i],b=dad[b][i];
    }
    return dad[a][];
}
int main() {
    memset(head,-,sizeof(head));
    int a,b;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=; i<n; i++) {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    dfs(s,);
    for(int i=; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return ;
}

3.离线tarjan

#include <map>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define ri register int
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int maxn=;
const int inf=0x7fffffff;
int n,m,s,t;
struct Edge{
    int ne,to;
}edge[maxn<<];
struct node{
    int d,id;
    node(int x,int y){d=x,id=y;}
    node(){;}
};
vector <node>q[maxn];
int h[maxn],num_edge,ans[maxn];
inline void add_edge(int u,int v){
    edge[++num_edge].ne=h[u];
    edge[num_edge].to=v;
    h[u]=num_edge;
    edge[++num_edge].ne=h[v];
    edge[num_edge].to=v;
    h[v]=num_edge;
}
int fa[maxn],vis[maxn];
int get(int x){
    if(fa[x]!=x)fa[x]=get(fa[x]);
    return fa[x];
}
void dfs(int now){
    int u,v;
    vis[now]=;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(vis[v])continue;
        dfs(v);
        fa[v]=now;
    }
    for(ri i=;i<q[now].size();i++){
        u=q[now][i].d,v=q[now][i].id;
        if(vis[u]==) ans[v]=get(u);
    }
    vis[now]=;
    return ;
}
int main(){
    int x,y;
    cin>>n>>m>>s;
    for(ri i=;i<n;i++){
        cin>>x>>y;
        add_edge(x,y);
        fa[i]=i;
    }
    fa[n]=n;
    for(ri i=;i<=m;i++){
        cin>>x>>y;
        q[x].push_back(node(y,i));
        q[y].push_back(node(x,i));
    }
    dfs(s);
    for(ri i=;i<=m;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return ;
}

4.ST表

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,s,x,y,tot,cnt;
const int N=,M=;
int head[N],to[M],nxt[M],deep[M],vis[M],size[M];
int dad[M][],dis[M];
void add(int x,int y) {
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    to[++tot]=x;
    nxt[tot]=head[y];
    head[x]=tot;
}
void DFS(int u,int fa,int l) {
    size[u]=++cnt;
    vis[cnt]=u;
    deep[cnt]=l;
    for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) {
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        DFS(v,u,l+);
        vis[++cnt]=u;
        deep[cnt]=l;
    }
    return ;
}
void RMQ() {
    for(int i=; i<=cnt; i++)
        dis[i]=dis[i-]+(<<dis[i-]==i);
    for(int i=; i<=cnt; i++)
        dad[i][]=i;
    for(int i=; (<<i)<=cnt; i++) {
        for(int j=; j+(<<i)-<=cnt; j++) {
            int a=dad[j][i-];
            int b=dad[j+(<<(i-))][i-];
            if(deep[a]<=deep[b]) dad[j][i]=a;
            else dad[j][i]=b;
        }
    }
    return ;
}
int ST(int x,int y) {
    int r=size[x],l=size[y];
    if(r<l) swap(r,l);
    int k=dis[r-l+]-,a=dad[l][k],b=dad[r-(<<k)+][k];
    if(deep[a]<=deep[b]) return vis[a];
    else return vis[b];
}
int main() {
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=; i<n; i++) {
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
    }
    DFS(s,,);
    RMQ();
    for(int i=; i<=m; ++i) {
        cin>>x>>y;
        cout<<ST(x,y);
    }
    return ;
}

5.树剖

/*
注释掉的代码是当有边权时的写法
*/
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int M = ;

int n, m, tot;
int to[M*], net[M*], head[M];// cap[M*2];
int deep[M], top[M], size[M], dad[M];//length[M];

void add(int u, int v, int w) {
    to[++tot] = v; net[tot] = head[u]; head[u] = tot;// cap[tot] = w;
    to[++tot] = u; net[tot] = head[v]; head[v] = tot;// cap[tot] = w;
}

void dfs(int now) {  //建树
    size[now] = ;
    deep[now] = deep[dad[now]] + ;
    for (int i = head[now]; i; i = net[i])
        if (to[i] != dad[now]) {
            dad[to[i]] = now;
//            length[to[i]] = length[now] + cap[i];
            dfs(to[i]);
            size[now] += size[to[i]];
        }
}

void dfsl(int now) {  //处理轻重链
    int t = ;
    if (!top[now]) top[now] = now;
    for (int i = head[now]; i; i = net[i])  //求重儿子
        if (to[i] != dad[now] && size[to[i]] > size[t])
            t = to[i];
    if (t) {  //处理重链
        top[t] = top[now];
        dfsl(t);
    }
    for (int i = head[now]; i; i = net[i])  //处理轻链
        if (to[i] != dad[now] && to[i] != t)
            dfsl(to[i]);
}

int lca(int x, int y) {  //求LCA
    while (top[x] != top[y]) {
        if (deep[top[x]] < deep[top[y]])
            swap(x, y);
        x = dad[top[x]];
    }
    return deep[x] > deep[y] ? y : x;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i < n; ++i) {  //因为树的边有n-1条，所以循环要i<n
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        add(u, v);
        /*
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w);
        */
    }
    dfs();  //一般题目默认根节点为1号节点，如果不是，将这两个dfs括号中的1换为题目中规定的节点即可
    dfsl();
    for (int i = ; i <= m; ++i) {  //查询LCA的次数
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        printf("%d\n", lca(u, v));
    }
    return ;
}

一世安宁